三角函式/三角方程求解

三角方程包含三角函式的方程。如果它們只包含這些函式和常數，那麼解法需要找到一個未知數，它是三角函式的引數。

基本三角方程

sin(x) = n

$n$	$\sin(x)=n$
$|n|<1$	${\begin{matrix}x=\alpha +2k\pi \\x=\pi -\alpha +2k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}$
$n=-1$	$x=-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$
$n=0$	$x=k\pi$
$n=1$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$
$|n|>1$	$x\in \varnothing$

方程 $\sin(x)=n$ 只有在 $n$ 在區間 $[-1,1]$ 內時才有解。如果 $n$ 在此區間內，那麼我們首先找到一個 $\alpha$ 使得

$\alpha =\arcsin(n)$

那麼解就是

$x=\alpha +2k\pi$

$x=\pi -\alpha +2k\pi$

其中 $k$ 是整數。

在 $n$ 等於 1、0 或 -1 的情況下，這些解有更簡單的形式，總結在右側的表格中。

例如，要解

$\sin {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

首先找到 $\alpha$ 

$\alpha =\arcsin {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}{\bigr )}={\frac {\pi }{3}}$

然後代入上面的公式

${\frac {x}{2}}={\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

${\frac {x}{2}}=\pi -{\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

解出關於 $x$ 的線性方程得到最終答案

$x={\frac {2\pi }{3}}(1+6k)$

$x={\frac {4\pi }{3}}(1+3k)$

其中 $k$ 是整數。

cos(x) = n

$n$	$\cos(x)=n$
$|n|<1$	${\begin{matrix}x=\pm \alpha +2k\pi \\\alpha \in [0,\pi ]\end{matrix}}$
$n=-1$	$x=\pi +2k\pi$
$n=0$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+k\pi$
$n=1$	$x=2k\pi$
$|n|>1$	$x\in \varnothing$

與正弦方程類似，形如$\cos(x)=n$ 的方程只有當n在區間$[-1,1]$ 內時才有解。為了解這樣的方程，我們首先要找到一個角度$\alpha$ 使得

$\alpha =\arccos(n)$

然後，$x$ 的解為

$x=\pm \alpha +2k\pi$

其中 $k$ 是整數。

當$n$ 等於 1、0 或 -1 時，更簡單的案例總結在右側表格中。

tan(x) = n

$n$	$\tan(x)=n$
一般情況 情況	${\begin{matrix}x=\alpha +k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}$
$n=-1$	$x=-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\end{matrix}}+k\pi$
$n=0$	$x=k\pi$
$n=1$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\end{matrix}}+k\pi$

形如$\tan(x)=n$ 的方程對於任何實數$n$ 都有解。為了找到它們，我們必須首先找到一個角度$\alpha$ 使得

$\alpha =\arctan(n)$

找到 $\alpha$ 後，$x$ 的解為

$x=\alpha +k\pi$

當 $n$ 等於 1、0 或 -1 時，解的形式更簡單，如右側表格所示。

cot(x) = n

$n$	$\cot(x)=n$
一般情況 情況	${\begin{matrix}x=\alpha +k\pi \\\alpha \in \left[0;\pi \right]\end{matrix}}$
$n=-1$	$x=-{\begin{matrix}{\frac {3\pi }{4}}\end{matrix}}+k\pi$
$n=0$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+k\pi$
$n=1$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\end{matrix}}+k\pi$

方程 $\cot(x)=n$ 對於任何實數 $n$ 都有解。為了找到它們，我們必須首先找到一個角 $\alpha$，使得

$\alpha =\operatorname {arccot}(n)$

找到 $\alpha$ 後，$x$ 的解為

$x=\alpha +k\pi$

當 $n$ 等於 1、0 或 -1 時，解的形式更簡單，如右側表格所示。

csc(x) = n 以及 sec(x) = n

三角方程 $\csc(x)=n$ 以及 $\sec(x)=n$ 可以透過將其轉換為其他基本方程來求解

$\csc(x)=n\ \Leftrightarrow \ {\frac {1}{\sin(x)}}=n\ \Leftrightarrow \ \sin(x)={\frac {1}{n}}$

$\sec(x)=n\ \Leftrightarrow \ {\frac {1}{\cos(x)}}=n\ \Leftrightarrow \ \cos(x)={\frac {1}{n}}$

更多例子

一般來說，為了解決三角方程，我們必須首先使用三角恆等式將它們轉化為基本三角方程。本節列出了一些常見的示例。

a sin(x)+b cos(x) = c

為了解決這個方程，我們將使用以下恆等式：

$a\sin(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\alpha )$

$\alpha ={\begin{cases}\arctan {\bigl (}{\frac {b}{a}}{\bigr )},&{\mbox{if }}a>0\\\pi +\arctan {\bigl (}{\frac {b}{a}}{\bigr )},&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}$

該方程變為：

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\alpha )=c$

$\sin(x+\alpha )={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

該方程的形式為 $\sin(x)=n$，可以使用上面給出的公式求解。

例如，我們將解決：

$\sin(3x)-{\sqrt {3}}\cos(3x)=-{\sqrt {3}}$

在這種情況下，我們有：

$a=1,b=-{\sqrt {3}}$

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {1^{2}+{\Big (}-{\sqrt {3}}{\Big )}^{2}}}=2$

$\alpha =\arctan {\Big (}-{\sqrt {3}}{\Big )}=-{\frac {\pi }{3}}$

應用恆等式：

$2\sin \left(3x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\sqrt {3}}$

$\sin \left(3x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

因此，根據 $\sin(x)=n$ 的公式，方程的解為

$3x-{\frac {\pi }{3}}=-{\frac {\pi }{3}}+2k\pi \ \Leftrightarrow \ x={\frac {2k\pi }{3}}$

$3x-{\frac {\pi }{3}}=\pi +{\frac {\pi }{3}}+2k\pi \ \Leftrightarrow \ x={\frac {\pi }{9}}(6k+5)$

其中 $k$ 是整數。