三角學/正弦的加法公式

正弦公式

正弦的加法公式如下：

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

這是一個重要的工具，它使我們能夠將不同大小角度的正弦和餘弦聯絡起來。

在下一節中討論了與餘弦相關的公式

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

例題：$75^{\circ }$的正弦 告訴你 $\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\sin(30^{\circ })=0.5$ $\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 使用正弦加法公式計算 $\sin(75^{\circ })$ 答案：使用第一個公式 $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(30^{\circ })\cos(45^{\circ })$ $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot 0.5$ $\sin(75^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

練習：檢查例題 使用計算器檢查例題中的答案是否與正確值一致。

練習：$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和餘弦 告訴你 $\sin(10^{\circ })\approx 0.1736$ 並且 $\cos(10^{\circ })\approx 0.9848$ 使用公式計算 $20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和餘弦。 檢查你的答案是否與使用計算器直接計算得到的正弦和餘弦值一致。

加法公式非常有用。

下面是正弦加法公式的幾何證明。該證明還展示了人們是如何發現它的。

證明

我們需要證明

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

關於圖表

首先，關於證明中使用的圖表的說明。你如何想到這樣一個圖表呢？

好吧，

• 我們需要一個有直角三角形的圖表，我們需要展示一個 $(\alpha +\beta )$ 的角度，所以必須有 $\triangle ABC$ 。
• 我們希望用兩個直角三角形的邊長來表示這個三角形的邊長，一個角為 $\alpha$ ，另一個角為 $\beta$ ，所以新增像 $E$ 和 $F$ 這樣的點是必不可少的。
• 做到這一步，我們就可以開始嘗試解決問題了，我們會發現，在計算距離${\overline {BC}}$ 時遇到了問題。這就是我們把${\overline {BC}}$ 分成${\overline {BD}}$ 和${\overline {DC}}$ 的原因。我們可以計算${\overline {DC}}$ 的距離。它與${\overline {EF}}$ 長度相同。此外，${\overline {BD}}$ 的長度可以用Soh-Cah-Toa 計算。

請注意，我們選擇的圖並沒有什麼特別之處。例如，我們可以使用直角三角形$\triangle ABE$ 的直角在$B$ 而不是在$E$ 的圖來計算$\sin(\alpha +\beta )$ 。你可以嘗試一下。

我們選擇這個圖和這些字母是因為它與**可汗學院**關於證明正弦加法公式的影片中使用的完全相同，所以如果你對這裡提供的證明有困難，你可以觀看影片來學習。

影片連結

可汗學院有一個關於證明的影片，可能更容易理解。

• 證明：sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

證明

首先檢查$\angle DBE$ 是否真的與$\angle FAE$ 相同。這對證明很重要。我們只是利用三角形內角和為 180° 的事實來進行檢查，並注意到我們知道 90 度角。

現在得到$\sin(\alpha +\beta )$ 的表示式。這裡我們使用 Soh-Cah-Toa。我們會多次使用 Soh-Cah-Toa。

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BC}{AB}}$

觀察圖示，我們可以用 ${\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ 來替換 ${\overline {BC}}$，我們也有 ${\overline {DC}}={\overline {EF}}$，因此

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD+DC}{AB}}={\frac {BD+EF}{AB}}={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}$

讓我們嘗試用另一種方式來表達 ${\overline {BD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。你需要觀察圖示，找出我們所使用的三角形。

關於 ${\overline {BD}}$ 的表示式 ${\overline {BD}}={\overline {BE}}\cos(\alpha )$ 以及 ${\overline {BE}}={\overline {AB}}\sin(\beta )$ 所以 ${\overline {BD}}={\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )$

關於 $\displaystyle {\overline {EF}}$ 的表示式 ${\overline {EF}}={\overline {AE}}\sin(\alpha )$ 以及 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )$ 所以 ${\overline {EF}}={\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )$

綜合以上結論

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}={\frac {{\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )}{\overline {AB}}}+{\frac {{\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )}{\overline {AB}}}$

The ${\overline {AB}}$'s cancel.

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

我們完成了！

練習

練習：讓其中一邊為“一” 當我們畫圖時，並沒有說明它的尺寸。這意味著我們仍然可以選擇讓其中一邊為我們喜歡的任何長度。我們可以只對一條邊這樣做。一旦我們完成了，所有其他邊的長度就確定了。將一個長度固定為一個很好的值可以縮短證明。 所以，讓我們決定$AB$為 1 公里。實際上，我們不關心單位是公里、米還是釐米，就寫“1”。 $\triangle ABE$是一個直角三角形，並且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )=\cos(\beta )$ 你的任務是透過用實際值替換${\overline {AE}}$之類的長度，來簡化加法公式的整個證明，假設我們設定了${\overline {AB}}=1$。你實際上是在從證明中刪除${\overline {AB}}$以及乘法和除法${\overline {AB}}$。它應該變得更短更清晰。你應該也在圖上標記長度，假設${\overline {AB}}=1$。

練習：使用不同的圖 再次閱讀關於如何構造圖的描述“關於圖”。製作一個與所顯示圖不同的圖，將直角放在與所顯示圖不同的位置，並使用它來完成證明。 提示：如果你發現自己添加了大量的線條和額外的點，那麼你可能正在使證明比必要的複雜得多。你只需要新增足夠的線，以便能夠“追逐”長度從一個地方到另一個地方。一旦你有了三個基本三角形，一條額外的線就足夠了。