直角三角形的構造

直角三角形很容易構建。回想一下，直徑是一條直線，從圓周上的一個點開始，穿過圓心到達圓周的另一側。利用圓的這個性質

構建一個圓的直徑。將直徑與圓周接觸的點標記為a和c。
在圓周上選擇一個不同的點b（任何不是a或c的點）。
構建連線點a、b和c的線段。

如果遵循上述三個步驟，得到的三角形Δabc將是一個直角三角形。這個結果被稱為泰勒斯定理。

透過從b到圓心的新增一條線段，可以將這個直角三角形進一步劃分為兩個等腰三角形。

為了簡化接下來的討論，我們規定圓的直徑為1，並且圓的朝向使得上面畫的直徑從左到右。我們將三角形右側的角記為θ，左側的角記為φ。直角三角形的邊將從右側開始依次標記為a, b, c，使得a為最右側的邊，c為最左側的邊，b為直徑。我們早先知道邊b與直角相對，稱為斜邊。邊a與角φ相對，而邊c與角θ相對。我們重申，直徑，現在稱為b，將被假定為長度為1，除非另有說明。

透過在直徑穿過圓周的點之一處構建與直徑垂直的直角，然後使用前面概述的方法產生直角的二進位制分數，我們可以構建其中一個角，例如θ，作為已知測量的角度，介於0和π / 2之間。另一個角φ的測量值為π - π/2 - θ = π/2 - θ，即角θ的餘角。同樣，我們可以將圓的直徑平分，產生長度為直徑長度的二進位制分數。使用圓規，直徑的二進位制分數長度可以用來構建邊a（或c），使其具有已知大小（相對於直徑b），從而可以構建邊c。

使用直角三角形查詢未知邊

從兩條邊查詢未知邊

根據勾股定理，我們知道

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,

回想一下，c（上面的示例中的直徑/斜邊）被定義為長度為1，因此

b^{2}=1-a^{2}.\,

允許我們計算b平方長度。b平方可能是一個分數，例如1/4，可以找到其有理平方根，在本例中為1/2，或者，我們可以使用牛頓法找到b的近似值。

從一條邊和一個（非直角）角查詢未知邊

由於任何三角形都可以與我們基本的三角形（由直徑為1的圓形成）進行比較，因此一個列舉角度和邊長之間關係的表格對於理解任何三角形的性質將非常有用。然而，這樣的表格在實踐中將非常笨重，而且通常沒有必要知道確切的值。

當然，給定一個角度 $\theta$ ，我們可以使用尺規構建一個直角三角形，其中 $\theta \,$ 是它的一個角，然後我們可以測量與a對應的邊的長度來評估 $\cos$ 函式。這樣的測量必然是不精確的；在物理學中，一個問題是看這些測量能夠達到什麼樣的精度；利用三角學，我們可以做出精確的預測，用這些預測可以比較這些物理測量的結果。

最常見的表達關係存在而又不提供確切細節的方法是採用'函式'的形式。函式就像一臺機器，它接收一些簡單的輸入，併產生一些簡單的輸出。通常情況下，函式定義某種規則（[函式])，並提供我們一個在三角學中非常有用的方便的符號。這樣，我們就知道我們正在使用某種關係，而不需要知道確切的數值。基本三角函式僅僅是角度和三角形邊之間關係的替代品。

其中一個函式，它讓我們能夠知道任何 $\theta \,$ 值和相應的 $a\,$ 值之間的關係，被稱為 *餘弦* 或 $\cos \,$ 。這種普遍的關係表示為： ${\frac {a}{c}}=\cos \theta$ ，這將節省我們構建角度和長度並從中得出困難結論的步驟。

這意味著，如果你知道一個角的餘弦值，你也知道邊長之間的關係。三角形的實際大小可以更大或更小，但只要角的大小保持不變，餘弦表示的數學關係就不會改變。

餘弦示例

一些關於 cos 函式的明確值是已知的。對於 $\theta \,=0$ ，邊 $a\,$ 和 $c\,$ 重合： $a=c={\frac {a}{c}}=1$ ，所以 $\cos \left(0\right)=1$ 。對於 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，邊 $b\,$ 和 $c\,$ 重合，長度為 1，邊 $a\,$ 長度為零，因此 $a\,=0$ ， $c\,=1$ 。 ${\frac {a}{c}}=0$ 且 $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

我們可以繪製的最簡單的直角三角形是等腰直角三角形，它有一對大小為 ${\frac {\pi }{4}}$ 弧度的角，如果它的斜邊被認為是長度為 1，那麼邊 $a\,$ 和 $b$ 的長度為 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ，這可以透過勾股定理來驗證。如果邊 $a\,$ 被選擇為與包含直角三角形的圓的半徑長度相同，那麼透過將直角三角形從圓的圓周分割到圓心得到的右側等腰三角形是一個等邊三角形，所以 $\theta$ 必須是 ${\frac {\pi }{3}}$ ，而 $\phi$ 必須是 ${\frac {\pi }{6}}$ ，並且 $b\,^{2}$ 必須是 $1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{4}}$ .

餘弦和正弦函式的性質

週期

完整的一圈是 2π 弧度的角，所以將角增加這個量會讓你正好回到起點。因此，透過向任何角 θ 新增 2π，可以保持一個完美的圓形，以及三角形內部形成的關係。這被稱為“週期”——角度的大小或關係開始重複的時間段（將兩者相關聯很複雜，並允許我們談論波理論）。

使用函式，我們可以用餘弦函式表示這個事實，即： $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi n\right),\,$

瞭解正弦和餘弦函式的週期（以及透過推導，其他函式的週期）很有用，因為這意味著當我們知道週期相同時，我們可以用一個角度替換另一個角度。這在計算中很有幫助，例如當需要加減角度時。

半形公式和倍角公式

我們可以推匯出一個關於 cos(θ) 的 cos(θ/2) 公式，它允許我們找到更多角度的 cos() 函式的值。為了推匯出這個公式，畫一個等腰三角形，畫一個穿過其角的圓形，連線圓形中心與等腰三角形的每個角的半徑，擴充套件穿過等腰三角形頂點的半徑成為圓形的直徑，並將直徑與圓形另一側的交點與等腰三角形的其他角連線起來。

所以

$\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

它提供了一種根據原始角度的 cos() 來計算一半形度的 cos() 的方法。因此 * 被稱為“餘弦半形公式”。

半形公式可以應用於分割新發現的角度，而新發現的角度又可以再次被分割，無限分割下去。當然，每次新的分割都涉及到求一個包含平方根的項的平方根，所以不建議將這種方法作為計算 cos() 函式值的有效程式。

方程 * 可以反轉，以根據 cos(θ)/2 求得 cos(θ)

${\begin{matrix}&\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)-{\frac {1}{2}}={\frac {\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &2\cos ^{2}(\theta /2)-1=\cos(\theta )\\\end{matrix}}$

將 $\delta \ ={\frac {\theta }{2}}$ 代入，得到

$2\cos ^{2}(\delta )-1=\cos(2\delta )\,$

即：雙角餘弦公式，它用原始角的餘弦表示雙倍角的餘弦。

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