三角函式/三角函式的幾何定義

幾何定義正切

在上一節中，我們用代數定義正切為 $\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$，這將是我們將來最常使用的定義。但是，從幾何的角度理解正切函式可能會有所幫助。

幾何定義正切

在單位圓上畫一條切線：（即 $x=1$）。從圓半徑上給定角度落點處畫一條線，穿過圓心（O），到畫出的切線上的一個點（Q）。這條線的縱座標（QP）稱為該角度的正切。

直線OQ 的斜率 = ${\frac {KC}{OC}}$，正如我們之前提到的

KC = sin(θ)，OC = cos(θ)

因此，直線OQ 的斜率 = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

同時，OQ 的斜率 = ${\frac {QP}{OP}}$ = ${\frac {QP}{1}}$ = ${\frac {\tan(\theta )}{1}}$ = tan(θ)

因此，我們可以推斷出 tan(θ) = ${\frac {KC}{OC}}$ = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ = QP = 點Q的縱座標 = OQ的斜率

圓函式的定義域和值域

任何大小的角，正角或負角，都可以作為正弦或餘弦的輸入——結果將與從該角中減去或加上 2π（或 360°）的最大倍數相同。這兩個函式的輸出受單位圓半徑的絕對值限制，$|1|$。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {sine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\mathrm {cosine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\end{matrix}}$

R 代表所有實數的集合。

然而，正切函式沒有此類限制，如上一節圖表所示。正切函式定義域的唯一限制是，${\frac {\pi }{2}}$ 的奇數倍是不確定的，因為平行於切線的直線永遠不會與之相交。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {tangent} &\mathbb {R} \setminus \left\{\cdots ,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}},\cdots \right\}&\mathbb {R} \\\end{matrix}}$

要深入瞭解三角函式，請探索此小程式

將三角函式應用於直角三角形

如果您重新定義變數以對應直角三角形的邊，如下所示
• x = a（鄰邊）
• y = o（對邊）
• a = h（斜邊）

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