三角學/單位圓

單位圓是指一個圓心在原點 (0,0) 且半徑為一個單位的圓。

角度總是從正 x 軸（也稱為“右水平線”）測量。逆時針測量的角度具有正值；順時針測量的角度具有負值。

用單位圓定義正弦和餘弦

在所示的單位圓中，從原點到圓上的點 (x, y) 畫了一條單位長度的半徑。

透過點 (x, y) 畫一條垂直於 x 軸的直線，它與 x 軸在橫座標為x的點相交。類似地，一條垂直於 y 軸的直線與 y 軸在縱座標為y的點相交。x 軸和半徑之間的角度為 $\alpha$ .

因此，我們可以說，角度的正弦是單位圓上該角度的點的縱座標，角度的餘弦是單位圓上該角度的點的橫座標。

我們將任何角度 $\alpha$ 的基本三角函式定義如下

${\begin{matrix}\mathrm {sine:} &\sin(\alpha )&=&y\\\mathrm {cosine:} &\cos(\alpha )&=&x\\\end{matrix}}$

$\tan(\theta )$ 可以用代數方法定義。

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}\qquad \cos(\theta )\neq 0$

$\tan(\alpha )={\frac {y}{x}}\qquad x\neq 0$

這三個三角函式可以用於度數或弧度測量的角度，只要指定計算三角函式時使用的是哪種單位。

其他定義

前一章使用Soh-Cah-Toa 定義三角函式。單位圓的優點是 θ 可以擴充套件到第一象限之外 $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ ，這讓我們可以在區間 $(-\infty ,\infty )$ 上定義這些函式。
如果將三角學應用於向量，那麼如果圓的半徑不等於單位，則會更加方便。例如，如果向量 A 的大小為 $A=\left|\mathbf {A} \right\vert$

${\begin{matrix}x=r\cos(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{x}=\mathbf {A} \cos(\alpha )\\y=r\sin(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{y}=\mathbf {A} \sin(\alpha )\\r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&\to &\mathbf {A} ={\sqrt {\left(\mathbf {A} _{x}\right)^{2}+\left(\mathbf {A} _{y}\right)^{2}}}\\\end{matrix}}$

瞭解上述等式成立的原因非常重要。知道 $\cos(\alpha )={\frac {x}{r}}$ ， $r\cdot \cos(\alpha )=r\cdot {\frac {x}{r}}=x$ 。關於 $y$ 的定義也可以這樣說。最後一行是勾股定理。

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正弦和餘弦的一些值

下面是一個標記了某些精確值的單位圓

單位圓構成了大多數模擬時鐘和計算機動畫的基礎，因為 cos 和 sin 對應於代表時鐘指標的線段末端的 x 和 y 位置。

左邊的單位圓標註了度數、弧度和單位圓上的座標值。對於一個座標值 $(x,y)$ ，如果沿著圓 ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度逆時針行走，那麼行走到的圓上的座標值為 $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ 。

請記住，在單位圓上，從水平軸逆時針旋轉的角度 $\theta$ 會得到 $\cos(\theta )=x$ 和 $\sin(\theta )=y$ 。弧度也是一樣的。因此，對於單位圓上對應於 $(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ 的 $(x,y)$ ，當在餘弦或正弦函式中代入 ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度時，就是單位圓上的座標值。也就是說

\left(\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right),\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

，或者等效地

\left(\cos \left(60^{\circ }\right),\sin \left(60^{\circ }\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

單位圓對三角學的數學研究非常有用，因為它可以告訴你某些角度的精確值。稍後，你將學習如何在不需要依賴單位圓的特值（30、45、60 和 90）的情況下找到其他角度和弧度的比率。

花時間記憶單位圓上正弦和餘弦的一些值是值得的（餘弦等於 $x$ ，而正弦等於 $y$ ）。你至少應該熟悉 $0^{\circ },30^{\circ }45^{\circ },90^{\circ }$ 的值，並知道 ${\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 在單位圓上的位置。

如果你在記憶這些值時遇到困難，這裡有一些有用的提示和模式。嘗試找出除了列出的內容之外的其他提示和模式。

單位圓上的座標值 $(x,y)$ $(x,y)$ 的 ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 在 $x$ $x$ 座標值從 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ (在 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ ) 減少到 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ (在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ )。分母始終為 $2$ $2$ 。現在，看看我們的意思。暫時忽略 y 值。
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\right)$ , $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$ , $\left({\frac {1}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)$ .
就像 $x$ $x$ -值座標一樣， $y$ $y$ -值座標的分母也有規律。隨著角度的增加，在 $30^{\circ }$ $30^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$ $60^{\circ }$ (包含) 之間， ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 從 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ 在 $y$ $y$ -值座標為 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ 增加到 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ 在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ 。從上面的要點綜合起來，可以得到以下規律
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ , $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ , $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ .
某些弧度值僅僅是其他弧度值的映象。觀察一下那些分母相同的弧度值，看看你是否能找到與你所看到的模式相對應的規律。