直角三角形的構造

直角三角形很容易構造。回顧一下，直徑是一條從圓上的一個點開始，經過圓心到另一側的直線。利用圓的這個性質

構造一個圓的直徑。將直徑與圓相切的點分別稱為a和c。
在圓上選擇一個不同的點b（任何既不是a也不是c的點）。
構造連線點a、b和c的線段。

如果按照以上三個步驟進行，則得到的三角形Δabc將是一個直角三角形。這個結果被稱為泰勒斯定理。

透過從b點到圓心新增一條線段，可以將這個直角三角形進一步劃分為兩個等腰三角形。

為了簡化下面的討論，我們規定這個圓的直徑為1，並且方向是使上述直徑從左到右。我們將右邊的三角形角度記為θ，左邊的角度記為φ。直角三角形的邊將從右邊開始，依次記為a, b, c, 使a是最右邊的邊，c是最左邊的邊，b是直徑。我們從前面知道，邊b與直角相對，被稱為斜邊。邊a與角φ相對，而邊c與角θ相對。我們再次強調，直徑，現在稱為b，將被認為是長度為1，除非另有說明。

透過在直徑與圓相交的點之一處構造一個與直徑垂直的直角，然後使用前面概述的產生二進位制分數直角的方法，我們可以將其中一個角，例如θ，構造為在0到π / 2之間的已知大小的角。另一個角φ的大小是π - π/2 - θ = π/2 - θ，這是角θ的餘角。同樣，我們可以將圓的直徑二等分，產生長度是直徑長度的二進位制分數。使用圓規，可以將直徑的二進位制分數長度用於構造邊a（或c），使之具有已知的大小（相對於直徑b），由此可以構造邊c。

使用直角三角形求未知邊

根據兩條邊求未知邊

從勾股定理，我們知道

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,

回顧一下，c（上面的例子中的直徑/斜邊）被定義為長度為1，因此

b^{2}=1-a^{2}.\,

允許我們計算b平方長度。b平方可能是一個分數，例如1/4，我們可以找到一個有理平方根，在這個例子中是1/2，或者我們可以使用牛頓法找到b的近似值。

根據一邊和一個（非直角）角求未知邊

由於任何三角形都可以與我們的基本三角形（由直徑為1的圓形成）進行比較，因此一個列出角度和邊長之間關係的表格對於理解任何三角形的性質非常有用。但是，這樣的表格在實踐中會很笨拙，並且通常不需要知道確切的值。

當然，給定一個角度 $\theta$ ，我們可以使用尺規構造一個直角三角形，其中 $\theta \,$ 作為其中一個角，然後我們可以測量與a對應的邊的長度來評估 $\cos$ 函式。這樣的測量必然是不精確的；在物理學中，一個問題是看看這些測量能做到多精確；使用三角學，我們可以做出精確的預測，這些預測可以與這些物理測量的結果進行比較。

最常見的表達關係存在而不提供確切細節的方式是採用'函式'的形式。函式就像一個機器，它接受一些簡單的輸入併產生一些簡單的輸出。通常，函式定義某種規則（[函式])，並提供一個方便的符號，在三角學中很有用。這樣，我們就知道我們正在使用某種關係，而不必知道確切的數值。基本三角函式只是三角形角度和邊之間關係的替代品。

其中一個函式，可以讓我們知道任意值之間的關係 $\theta \,$ 和其對應的值 $a\,$ 被稱為餘弦或 $\cos \,$ 。這種普遍的關係表示為： ${\frac {a}{c}}=\cos \theta$ ，這將免去我們構造角度和長度，並從中進行復雜推導的麻煩。

這意味著，如果你知道一個角度的餘弦，你也知道邊長之間的關係。三角形的實際大小可以更大或更小，但只要角度的大小保持不變，餘弦所代表的數學關係就不會改變。

餘弦示例

餘弦函式的一些顯式值是已知的。對於 $\theta \,=0$ ，邊 $a\,$ 和 $c\,$ 重合： $a=c={\frac {a}{c}}=1$ ，所以 $\cos \left(0\right)=1$ 。對於 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，邊 $b\,$ 和 $c\,$ 重合，長度為 1，邊 $a\,$ 長度為零，因此 $a\,=0$ ， $c\,=1$ 。 ${\frac {a}{c}}=0$ 和 $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

我們可以畫的最簡單的直角三角形是等腰直角三角形，它有一對大小為 ${\frac {\pi }{4}}$ 弧度的角，如果它的斜邊被認為是長度為 1，那麼邊 $a\,$ 和 $b$ 的長度為 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ，這可以透過勾股定理來驗證。如果邊 $a\,$ 被選擇為與包含直角三角形的圓的半徑相同的長度，那麼透過將直角三角形從圓的圓周分割到其中心而獲得的右手等腰三角形是一個等邊三角形，因此 $\theta$ 必須是 ${\frac {\pi }{3}}$ ，並且 $\phi$ 必須是 ${\frac {\pi }{6}}$ 並且 $b\,^{2}$ 必須是 $1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{4}}$ .

餘弦和正弦函式的性質

週期

完整的旋轉是一個 2π 弧度的角，因此將一個角增加這個量會使你恰好回到你的起點。因此，完美的圓圈以及三角形內部形成的關係透過向任何角 θ 新增 2π 來保持。這被稱為週期——角度的大小或關係開始重複的時間段（將兩者聯絡起來很複雜，並且允許我們談論波理論）。

使用函式，我們可以用餘弦函式表示這個事實，即： $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi n\right),\,$

瞭解正弦和餘弦函式的週期（以及由此推匯出的其他函式的週期）很有用，因為這意味著當我們知道週期相同時，我們可以用一個角替換另一個角。這在計算中很有幫助，例如當需要新增或減去角度時。

半形和倍角公式

我們可以根據 cos(θ) 推匯出 cos(θ/2) 的公式，這使我們能夠找到更多角度的 cos() 函式的值。要推匯出公式，畫一個等腰三角形，透過其角畫一個圓，用半徑連線圓的中心與等腰三角形的每個角，將半徑透過等腰三角形的頂點延伸成圓的直徑，並將直徑與圓的另一側相交的點與等腰三角形的其他角連線起來。

所以

$\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

這提供了一種根據原角度的 cos() 計算一半形度的 cos() 的方法。因此，* 被稱為“餘弦半形公式”。

半形公式可以應用於將新發現的角度分割，而該角度又可以無限次分割。當然，每次新的分割都涉及到對一個帶有平方根的項求平方根，因此不建議將此作為計算 cos() 函式值的有效方法。

方程式 * 可以被反轉以根據 cos(θ)/2 找到 cos(θ)

${\begin{matrix}&\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)-{\frac {1}{2}}={\frac {\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &2\cos ^{2}(\theta /2)-1=\cos(\theta )\\\end{matrix}}$

代入 $\delta \ ={\frac {\theta }{2}}$ 得到

$2\cos ^{2}(\delta )-1=\cos(2\delta )\,$

也就是說，這是根據原角度的 cos() 計算雙倍角度的 cos() 的公式，被稱為“餘弦雙角和公式”。

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