三角函式的幾何定義

幾何定義正切

在上一節中，我們代數定義了正切為 $\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$，這是我們將來最常用的定義。然而，從幾何角度理解正切函式可能會有所幫助。

幾何定義正切

在單位圓上畫一條切線：（即 $x=1$）。從圓的半徑上與給定角度相交的點開始，穿過圓心（O），到切線上的一點（Q），畫一條線。這條線的縱座標（QP）被稱為該角度的正切。

直線OQ的斜率 = ${\frac {KC}{OC}}$，正如我們之前提到的

KC = sin(θ) , OC = cos(θ)

因此，直線OQ的斜率 = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

並且直線OQ的斜率 = ${\frac {QP}{OP}}$ = ${\frac {QP}{1}}$ = ${\frac {\tan(\theta )}{1}}$ = tan(θ)

因此，我們可以推匯出 tan(θ) = ${\frac {KC}{OC}}$ = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ = QP = 點 Q 的縱座標 = OQ 的斜率

圓函式的定義域和值域

任何大小的角度，無論是正的還是負的，都可以作為正弦或餘弦的輸入——結果將如同從該角度減去或加上 2π（或 360°）的 最大倍數。這兩個函式的輸出受單位圓半徑的絕對值 $|1|$ 的限制。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {sine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\mathrm {cosine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\end{matrix}}$

R 代表所有實數的集合。

然而，正切不受此類限制，如上一節的圖表所示。正切定義域的唯一限制是 ${\frac {\pi }{2}}$ 的奇數倍是不確定的，因為與切線平行的線永遠不會與它相交。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {tangent} &\mathbb {R} \setminus \left\{\cdots ,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}},\cdots \right\}&\mathbb {R} \\\end{matrix}}$

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將三角函式應用於直角三角形

如果您將變數重新定義如下，以對應於直角三角形的邊
• x = a（鄰邊）
• y = o（對邊）
• a = h（斜邊）

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