三角學/圓和三角形/外接圓

三角形的外接圓是一個圓，它以三角形的一邊和另外兩邊延伸作為切線。三角形有三條這樣的圓，每條對應三角形的一邊。

每個這樣的圓的中心，即三角形的外心，位於與圓相切的邊的對角的角平分線和三角形另外兩個角的外角平分線的交點。證明類似於內心的位置。

設三角形的邊長分別為 a，b，c，對角分別為 A，B，C。用 Δ 表示三角形的面積。寫 s = ¹⁄₂(a+b+c)。

如果與邊 a 相切的外接圓的半徑為 r_a，那麼 $r_{a}={\frac {\Delta }{s-a}}$，其他兩個外接圓有類似的表示式。如果 r 是內切圓的半徑，我們有

${\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {s-a}{\Delta }}+{\frac {s-b}{\Delta }}+{\frac {s-c}{\Delta }}={\frac {s}{\Delta }}={\frac {1}{r}}$

如果三角形的頂點是 ABC，且與邊 BC 相切的外接圓在點 D 處相切，那麼 AB+BD = AC+CD。（這很容易用從一點到圓的兩條切線長度相等的定理證明）這兩個表示式都是 s，即半周長。

與邊 a 相對應的外心到外接圓心的距離的平方為 R(R+2r_a)，其他兩個外心有類似的表示式。另外，

$\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R.$

三角形的面積是

$\displaystyle {\sqrt {r_{a}r_{b}r_{c}r}}.$

r_a 的另外三個表示式是

$r_{a}=a{{\cos({\frac {B}{2}})\cos({\frac {C}{2}})} \over {\cos({\frac {A}{2}})}}$

$r_{a}=4R\sin({\frac {A}{2}})\cos({\frac {B}{2}})\cos({\frac {C}{2}})$

$r_{a}=s\tan({\frac {A}{2}})$

r_b 和 r_c 有類似的表示式。

從這些表示式中的第二個可以很容易地證明，如果 r_a = r + r_b + r_c，那麼 A 是直角。

I_a 到三個頂點 A，B，C 的距離分別為

$4R\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right){\text{, }}4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right){\text{, }}4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {B}{2}}\right)$

分別為其他外心點的類似表示式。

$\displaystyle r.II_{a}.II_{b}.II_{c}=4R.IA.IB.IC$