三角學/第二冊導言

在第一冊中，我們使用代數公式來處理三角形。

從A到B的向量AB

本書加深了對三角形和圓之間眾多關係的理解。它還展示瞭如何解決一些更難的三角函式恆等式。除了更多的代數之外，我們使用和發展的主要額外數學工具是3D向量。

從向量開始

三維空間中的一個點$\displaystyle P$由三個座標給出，$\displaystyle P=(x,y,z)$。這與二維空間中的點沒有太大區別，二維空間中的點是$\displaystyle (x,y)$。

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如果我們有兩個點，$\displaystyle P$和$\displaystyle Q$，我們可以使用不同的符號來表示它們的座標。$\displaystyle P_{x},P_{y},P_{z}$表示$\displaystyle P$，$\displaystyle Q_{x},Q_{y},Q_{z}$表示$\displaystyle Q$。

當我們更關注兩個點之間的相對位移時，我們傾向於使用$\displaystyle V$和$\displaystyle W$作為我們的名稱，並將$\displaystyle V$和$\displaystyle W$稱為向量。

這與三角學有什麼關係？

如果我們有向量$\displaystyle V$和$\displaystyle W$，當我們計算以下數量時，就會用到三角學，這個數量稱為“點積”，記為$\displaystyle V\cdot W$

$\displaystyle V\cdot W=V_{x}W_{x}+VyW_{y}+V_{z}W_{z}$

事實證明，這個點積是兩個向量的長度的乘積乘以這兩個向量之間夾角的餘弦。我們將用兩個互相垂直的向量來嘗試一下。

示例：兩個垂直向量 我們選擇$\displaystyle V=(1,3,4)$ 和 $\displaystyle W=(6,-2,0)$，則 $\displaystyle V\cdot W=V_{x}W_{x}+VyW_{y}+V_{z}W_{z}$ $\displaystyle =1\times 6+3\times -2+4\times 0=6-6+0=0$ 這兩個向量都沒有長度為零，但點積為零。這意味著這兩個向量之間夾角的餘弦為零，這兩個向量之間的夾角為90度，因此這兩個向量互相垂直。

練習：向量與自身的點積 “向量與自身之間的夾角”為零。這個角度的餘弦是多少？ 兩個向量的點積是“兩個向量的長度的乘積乘以這兩個向量之間夾角的餘弦”。如果這兩個向量是同一個向量，我們如何簡化這個陳述？ 我們還有 $\displaystyle V\cdot V=V_{x}V_{x}+VyV_{y}+V_{z}V_{z}=(V_{x})^{2}+(V_{y})^{2}+(V_{z})^{2}$ ……你可以將它與勾股定理聯絡起來，當然是在三維空間中。我們剛剛看到的是，點積公式與三角學密切相關。

應用

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新增一些應用（和圖片），就像第一冊一樣。

關於第二冊

第二冊，像第一冊一樣，只處理可以在沒有微積分的情況下處理的三角學方面。但是，代數的節奏比第一冊快。這些主題在理解三角學方面不如第一冊那麼重要。