三角函式/18 度的正弦

3º 的倍數的角度的三角函式都可以用根式表示。本頁只處理 18º 的倍數的角度。

考慮方程

$\sin(5x)-1=0$ .

顯然，唯一的解是 5x = 90º, 90º + 360º, 90º + 2x360º, 90º + 3x360º ... 因此 x = 18º, 90º, 162º, 234º 或 306º。（不需要繼續計算，因為將 x 增加 360º 不會影響其正弦。）$\sin(x)$ 是，經過各種簡化後，sin(18º) 兩次，1，-sin(54º) 兩次。

這個方程可以用另一種方法求解。使用 $\sin(a+b)$ 的公式，我們可以展開 $\sin(5x)$ 得到

$16\sin ^{5}(x)-20\sin ^{3}(x)+5\sin(x)-1=0$

如果我們寫 $s=\sin(x)$ ，它就變成一個關於 s 的五次方程，

$16s^{5}-20s^{3}+5s-1=0$

即

$(s-1)(4s^{2}+2s-1)^{2}=0$

所以要麼 $s=1$ （對應 x = 90º）要麼

$s={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

（對應 x = 18º 或 54º）。因此

$\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\approx 0.30902$ .

$\sin(54^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\approx 0.80902$.

練習：更多角度 透過考慮方程 $\sin(5x)=0$ 證明 $\sin(36^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 0.58779$ . $\sin(72^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 0.95106$ .

餘弦可以立即得到，例如 cos(18º) = sin(72º)。