三角學/反三角函式

基本概念

在方程

$y=\sin(x)$

中，如果我們給定了 $x$，我們可以計算出 $y$。

如果我們給定了 $y$，我們能計算出 $x$ 嗎？

看看 $\sin(x)$ 的影像，你會發現對於 $y>1$ 或 $y<-1$，根本沒有答案，而對於其他值的 $y$，有無窮多個答案。

如果

$y=\sin(x)$

我們將 $\sin$ 的反函式寫成如下形式

$x=\sin ^{-1}(y)$

注意奇怪的符號。這只是一個約定，並不真正符合 $\sin ^{2}(x)$ 代表 $\sin(x)^{2}$ 的約定。然而，我們必須使用這種符號。它在數學工作中被廣泛使用，並且非常熟悉，因此在實踐中不會造成混淆。在許多計算器上，可以使用另一種符號 $\arcsin$。

計算器只會給出一個答案（或錯誤）來表示 $\sin ^{-1}(y)$。你可以透過新增或減去 360° 的倍數來獲得其他一些答案。在後面的部分，我們將詳細說明關於 $\sin ^{-1}(y)$ 給出的答案的約定。

arcsin

反函式常用的符號是“弧函式”符號，在函式名前新增“arc”，有時也可以簡寫為“a”。

$\sin ^{-1}(x)=\arcsin(x)={\mbox{asin}}(x)$ ,

$\cos ^{-1}(x)=\arccos(x)={\mbox{acos}}(x)$ ，以及

$\tan ^{-1}(x)=\arctan(x)={\mbox{atan}}(x)$ .

弧函式的名稱可能來源於角度的弧度量和弧長之間的關係——弧函式產生單位圓上的弧長。

反函式、定義域和值域

對於某些值，正弦或餘弦的反函式有多個答案，而某些值根本不存在。我們希望反函式是一個函式，但根據函式的數學定義，它不是。

• 函式是指給定一個值，始終能返回一個唯一的值作為其“答案”的東西。

$\sin(x)$ 是一個函式，因為它對於任何 x 都能返回某個值。不存在一個真正的函式作為 $\sin(x)$ 的反函式，因為例如，$\sin(20^{\circ })$ 和 $\sin(160^{\circ })$ 的值相同。反“函式”不知道是返回 20° 還是 160°。

為了解決這個問題，我們需要一些更數學的語言。我們有數學術語來描述函式作用於什麼以及它的值最終落在哪裡。像 ${\sqrt {x}}$ 這樣的函式需要一些協議來描述它可以作用於哪些值以及它們最終落在哪裡。按照慣例，${\sqrt {25}}=5$ ，儘管 $x=-5$ 也是 $x^{2}=25$ 的有效解。我們如何描述這種事情呢？

• 函式的定義域是它定義在其上的值的集合。

示例：倒數函式 函式 ${\frac {1}{x}}$ 在除 0 之外的所有 x 值上都有定義。它的定義域是實數，不包括零。

示例：階乘函式 階乘函式作用於正整數。 作為函式 f - $f(1)=1\ ,\ f(2)=2\ ,\ f(3)=6\ ,\ f(4)=24\dots$ 。階乘函式通常用在數字後加一個感嘆號來表示。 因此，3 的階乘通常寫成 3！，它等於 $3\times 2\times 1=6$ 。 4 的階乘寫成 4！，它等於 $4\times 3\times 2\times 1=24$ 。 階乘函式的定義域是正整數。

• 函式的值域是指它可以取到的所有值的集合。 值域也取決於定義域。

x2 的值域 考慮函式 $f(x)=x^{2}$ 如果我們對 x 使用普通的數字，例如 37.2 或 -1001.56，我們總是會發現 $f(x)$ 是一個正數（或零）。 $f(x)$ 的值域是大於或等於零的數字。

2x 的值域 考慮函式 $f(x)=2x$ 如果我們將 $f(x)$ 的定義域選擇為大於或等於 1 的數字，那麼 $f(x)$ 的值域是大於或等於 2 的數字。

更多符號

• 整數是指像 1、2、3、4 這樣的整數，也包括 0、-1、-2、-3... 我們用來表示整數的符號是 $\mathbb {Z}$ 。 語句 $x\in \mathbb {Z}$ 的意思與 x 是一個整數完全相同。

• 實數包括所有整數，還包括分數，以及其他數字，比如 pi 和 2 的平方根。 實數“填補”了整數之間的空缺。 你將在後面的書中獲得對實數更好的定義。 我們用來表示實數的符號是 $\mathbb {R}$ 。 語句 $x\in \mathbb {R}$ 的意思與 x 是一個實數完全相同。

• 實數中的一個數字範圍通常可以用區間表示法來寫。 以下是一個表示大於或等於零且小於一的數字的示例：[0,1)。 方括號和圓括號有特殊的含義。 方括號表示該數字包括在內。 圓括號表示該數字不包括在內。

區間表示法 表示法 (1.3,100.7] 表示 1.3 和 100.7 之間的數字，包括 100.7，但不包括 1.3。 表示法 [-59.1,12.5] 表示 -59.1 和 12.5 之間的數字，包括 -59.1 和 12.5。 表示法 (0,71.2) 表示 0 和 71.2 之間的數字，不包括 0 和 71.2。

• 函式複合是將一個函式應用於另一個函式之後。 如果我們有兩個函式 f 和 g，我們將複合函式寫成作用於 x 的形式： $f\circ g(x)$ 。 這意味著首先將 g 應用於 x，然後將 f 應用於該結果。 我們可以將 $f\circ g$ 視為一個全新的函式。

• 函式 $f$ 的逆函式寫成 $f^{-1}$。如果 $f$ 是將一個數字加 12 的函式，那麼 $f^{-1}$ 是將一個數字減 12 的函式。

三角函式的逆函式

一些教科書透過定義新的函式 ${\mbox{Sin}}(x)$，${\mbox{Cos}}(x)$ 和 ${\mbox{Tan}}(x)$（首字母都大寫）來解決三角函式的逆函式問題，這些新函式等於原函式但具有限制的定義域。

透過適當限制定義域，函式 ${\mbox{Sin}}(x)$，${\mbox{Cos}}(x)$ 和 ${\mbox{Tan}}(x)$（首字母都大寫）確實有逆函式，這些逆函式也是函式。

為了使逆函式成為函式，定義域的限制是標準的。這裡（以及本文件的其餘部分）我們使用弧度而不是度來衡量角度

${\mbox{Sin}}(x)$ 的定義域是 $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$

${\mbox{Cos}}(x)$ 的定義域是 $[0,\pi ]$；以及

${\mbox{Tan}}(x)$ 的定義域是 $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

對於每個函式，限制的定義域包括第一象限角以及相鄰象限的角。

真的逆函式嗎？

重要的是要注意，由於這些限制的定義域，逆三角函式並不一定像人們期望的逆函式那樣表現。雖然

${\mbox{Sin}}^{-1}\left(\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{Sin}}^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{6}}$（按照預期${\mbox{Sin}}^{-1}{\big (}\sin(x){\big )}=x$），

${\mbox{Sin}}^{-1}\left(\sin \left({\tfrac {5\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{Sin}}^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{6}}$ .

對於反三角函式，$f^{-1}\circ f(x)=x$ 僅當 $x$ 在反函式的範圍內。

然而，另一個方向：$f\circ f^{-1}(x)=x$ 對於所有 $x$ ，我們都可以應用反函式。

反函式關係

為了完整性，這裡給出了基於反三角函式的反三角關係的定義。本節主要討論如何使用數學符號來表示將 360^o 的倍數加到角度上，可以得到反三角函式的另一個解。由於我們使用的是弧度，所以我們將新增 2π 的倍數。這裡還將使用一些其他符號

• 花括號 {} 表示“集合”，即集合中包含的所有元素。
• 符號 $\cup$ 被讀作 **並集**。兩個集合的並集是包含這兩個集合所有元素的集合。

• $\sin ^{-1}(x)=\left\{{\mbox{Sin}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}\cup \left\{\pi -{\mbox{Sin}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （正弦函數週期為 $2\pi$，但在任何給定週期內可能有兩個解，且 $\sin(x)=\sin(\pi -x)$）
• $\cos ^{-1}(x)=\left\{\pm {\mbox{Cos}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （餘弦函數週期為 $2\pi$，但在任何給定週期內可能有兩個解，且餘弦函式為偶函式： $\cos(x)=\cos(-x)$）
• $\tan ^{-1}(x)=\left\{{\mbox{Tan}}^{-1}(x)+\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （正切函數週期為 $\pi$，在任何給定週期內是單射函式）