三角學/為愛好者/畢達哥拉斯定理的推廣

任意三角形

由 薩位元·伊本·庫拉 推廣的畢達哥拉斯定理。 底部面板：三角形 ABD（頂部）的反射形成三角形 DBA，與三角形 ABC（頂部）相似。

在任意三角形（邊長分別為 a, b, c）中，選擇一個角，並內接一個等腰三角形，使等腰三角形的底角 θ 等於所選的角。假設所選的角 θ 與邊 c 相對。內接等腰三角形形成三角形 ABD，其角 θ 與邊 a 相對，且其邊 r 位於邊 c 上。如圖所示，第二個三角形形成，其角 θ 與邊 b 相對，且其邊長為 s 位於邊 c 上。 薩位元·伊本·庫拉 指出這三個三角形的邊之間存在如下關係：

$a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .$

當角 θ 接近 π/2 時，等腰三角形的底邊越來越窄，長度 r 和 s 的重疊越來越少。當 θ = π/2 時，ADB 成為直角三角形，r + s = c，從而恢復了原來的畢達哥拉斯定理。

一個證明觀察到三角形 ABC 與三角形 ABD 的角度相同，但順序相反。（這兩個三角形在頂點 B 共用一個角，都包含角 θ，因此根據 三角形公理 也有相同的第三個角。）因此，ABC 與 ABD 的反射（即底部面板中的三角形 DBA）相似。將與 θ 相對的邊與相鄰的邊之比，

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}}\ .$

類似地，對於另一個三角形的反射，

${\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\ .$

消去分數並加這兩個關係

$cr+cs=a^{2}+b^{2}\ ,$

得到所需的結果。

致謝

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