三角函式/Cosh、Sinh 和 Tanh

函式 cosh x、sinh x 和 tanh x 與矩形雙曲線 y² = x² - 1 之間的關係與圓函式與圓 y² = 1 - x² 之間的關係非常相似。因此，它們有時被稱為 雙曲函式（h 代表 雙曲）。

符號和發音 $\displaystyle \cosh$ 是 'cosine hyperbolic' 的縮寫，而 $\displaystyle \sinh$ 是 'sine hyperbolic' 的縮寫。 $\displaystyle \sinh$ 讀作 sinch， $\displaystyle \cosh$ 讀作 'cosh'，正如您所預期的那樣， 而 $\displaystyle \tanh$ 讀作 tanch。

[矩形雙曲線的圖示]

定義

它們被定義為

$\cosh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x});\,\,\sinh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x});\,\,\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}$

等效地，

$\displaystyle e^{x}=\cosh(x)+\sinh(x);\,\,e^{-x}=\cosh(x)-\sinh(x)$

倒數函式可以以明顯的方式定義

$\operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}};\,\,\operatorname {cosech} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}};\,\,\coth(x)={\frac {1}{\tanh(x)}}$

1 - tanh²(x) = sech²(x); coth²(x) - 1 = cosech²(x)

很容易證明 $\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$，類似於結果 $\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1.$ 因此，sinh(x) 的絕對值始終小於 cosh(x)。

sinh(-x) = -sinh(x); cosh(-x) = cosh(x); tanh(-x) = -tanh(x)。

它們的取值範圍與相應的圓函式有很大區別

• cosh(x) 在 x = 0 時取最小值 1，並且當 x 趨於正負無窮大時趨於無窮大；
• sinh(x) 在 x = 0 時為零，當 x 趨於正無窮時趨於正無窮，當 x 趨於負無窮時趨於負無窮；
• tanh(x) 在 x = 0 時為零，當 x 趨於正無窮時趨於 1，當 x 趨於負無窮時趨於 -1。

[新增圖形]

加法公式

有與圓函式非常相似的結果；它們很容易從 cosh 和 sinh 的定義直接證明

sinh(x±y) = sinh(x)cosh(y) ± cosh(x)sinh(y)

cosh(x±y) = cosh(x)cosh(y) ± sinh(x)sinh(y)

反函式

如果 y = sinh(x)，我們可以定義反函式 x = sinh^-1y，cosh 和 tanh 也是如此。sinh 和 tanh 的反函式對於所有 x 都是唯一定義的。對於 cosh，反函式在 y 小於 1 時不存在。對於 y = 1，x = 0。對於 y > 1，將有兩個對應的 x 值，其絕對值相等但符號相反。通常，將使用正值。從函式的定義來看，

$\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

$\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

$\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

簡化 cosh(x) + b sinh(x)

如果 a > |b| 則

$\displaystyle a\cosh(x)+b\sinh(x)={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\cosh(x+c)$ 其中 :$\displaystyle \tanh(c)={\frac {b}{a}}$

如果 |a| < b 則

$\displaystyle a\cosh(x)+b\sinh(x)={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\sinh(x+d)$ 其中 :$\displaystyle \tanh(d)={\frac {a}{b}}$

與複數的關係

• $\cos(ix)=\cosh(x)$
• $\cos(x)=\cosh(ix)$

• $\sin(ix)=i\sinh(x)$
• $i\sin(x)=\sinh(ix)$

• $\tan(ix)=i\tanh(x)$
• $i\tan(x)=\tanh(ix)$

加法公式和其他結果可以從這些關係中證明。

戈德曼函式

Gudermann 函式（以克里斯托弗·古德曼（Christoph Gudermann，1798–1852）命名）定義為 gd(x) = tan^-1(sinh(x))。它具有以下性質：

• gd(0) = 0;
• gd(-x) = -gd(x);
• 當 x 趨於無窮大時，gd(x) 趨於 ¹⁄₂π；當 x 趨於負無窮大時，gd(x) 趨於 -¹⁄₂π。

逆函式 gd^-1(x) = sinh^-1(tan(x)) = ln(sec(x)+tan(x))。

微分

由上述定義可以證明：

${\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x);\,\,{\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x);\,\,{\frac {d}{dx}}\tanh(x)=sech^{2}(x);\,\,{\frac {d}{dx}}gd(x)=sech(x)$

我們還有：

${\frac {d}{dx}}\sinh ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}};\,\,{\frac {d}{dx}}\cosh ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};\,\,{\frac {d}{dx}}\tanh ^{-1}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}};\,\,{\frac {d}{dx}}gd^{-1}(x)=\sec(x)$.