三角函式/例項：摩天輪問題

問題

考試題目

"雅各布和艾米麗在維也納的狂歡節上乘坐摩天輪。這個摩天輪直徑為 ${\mathit {16}}\,$ 米，每分鐘轉三圈，最低點距離地面 1 米。假設雅各布和艾米麗離地面的高度 $h$ 是時間 $t$ 的正弦函式，其中 ${\mathit {t=0\,}}$ 代表摩天輪的最低點，$t$ 以秒為單位測量。"

"寫出 $h$ 關於 $t$ 的表示式。"

[對於有興趣的人來說，這幅圖實際上是維也納的摩天輪。]

-Lang Gang 2016

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可汗學院 有關於這個問題的影片資料，你可能會發現更容易理解。

• 摩天輪三角函式問題
• 摩天輪三角函式問題（第 2 部分）

解答

直徑到半徑 一個直徑為 $16{\text{ m}}$ 的圓的半徑為 $8{\text{ m}}$。

每分鐘轉速到每秒角度 一個每分鐘轉三圈的輪子每秒鐘轉動 $\displaystyle {\frac {3\times 360^{\circ }}{60}}$ 度。簡化後為 $\displaystyle 18^{\circ }$ 度每秒。

高度公式 在 $t=0$ 時，我們的高度 $h$ 是 $1$。在 $t=10$ 時，我們將轉過 $180^{\circ }=10\times 18^{\circ }$，即半圓，並將位於最高點，高度為 $16+1=17$（因為圓的直徑是 $16$ 米）。 餘弦函式，即 $\displaystyle \cos \theta$，在 $\displaystyle \theta =0^{\circ }$ 時為 $1$，在 $\displaystyle \theta =180^{\circ }$ 時為 $-1$。這幾乎與我們想要的結果完全相反，因為我們想要在 $0$ 時獲得最小的負值，並在 $180$ 時獲得最大的正值。因此，讓我們使用負餘弦來啟動我們的函式。 當 $t=10$ 時，我們想要 $\theta =180^{\circ }$，所以我們將 $t$ 乘以 $18$，這樣我們得到 $\displaystyle -\cos(18t)$。我們得到的公式在 $t=0$ 時是 $-1$，在 $t=10$ 時是 $1$。乘以 $8$，我們得到 $\displaystyle -8\cos(18t)$，它在 $t=0$ 時是 $-8$，在 $t=10$ 時是 $8$ 為了確保現實不會被搞亂（我們不能有負高度 $h$），加上 $9$，我們得到 $\displaystyle 9-8\cos(18t)$，它在 $t=0$ 時是 $1$，在 $t=10$ 時是 $17$ 我們需要的公式是 $\displaystyle h=9-8\cos(18t)$. 其中餘弦函式的角單位為度（而非弧度）。