三角函式/餘弦和正弦

兩種方法

餘弦和正弦函式將直角三角形中的角度與對應邊的比率聯絡起來。例如，餘弦函式（$\cos$）將角度θ，$\theta$，與直角三角形上相鄰邊（即直角的對邊）的長度比率聯絡起來（即$\cos \theta$ 是該角的相鄰邊與直角三角形的斜邊之比）。

介紹餘弦和正弦函式通常有兩種方法。

• 其中一種方法是根據直角三角形定義正弦和餘弦函式。這對於$0^{\circ }$ 和$90^{\circ }$ 之間的角度很有效。後來，定義必須擴充套件到該範圍之外的角度。
• 另一種方法是根據“單位圓”介紹正弦和餘弦。這種方法稍微複雜一些，但適用於所有角度。

這兩種方法最終是完全相同的。但是，我們更喜歡從一開始就處理所有角度，這就是為什麼在之前的練習中，我們讓你繪製${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$ 以獲得一個“單位圓”。

單位圓定義

如果在$x$ 軸（角度是相對於$x$ 軸逆時針方向）繪製了一條長度為$1$ 的半徑線，該線與角度$\theta$ 相交，那麼$x$ 座標由下式給出

$x=\cos \left(\theta \right)$,

而$y$ 座標由下式給出

$y=\sin \left(\theta \right)$.

符號和讀音 $\cos$ 當然只是“餘弦”的縮寫，而$\sin$ 只是正弦的縮寫。 令人困惑的是，$\cos$ 可以發音為 "cos" 或 "coz"，始終以 "o" 發音，如 "bottle" 中的 "o"，而不是 "code" 中的 "o"，而 $\sin$ 通常發音為 "sine" 而不是 "sin"。 這並不十分合乎邏輯，但就是這樣。

邊比率定義

下圖顯示了我們正在考慮的內容

在這裡，我們將用 $A,B,C$ 來表示角度。

• 我們已經知道最長的邊稱為 **斜邊**。
• 與我們選擇的角度相鄰的邊稱為 **三角形的底**。
• 剩下的與角度相對的邊稱為 **三角形的垂線或緯度**。

角度決定了邊的比率。一旦選擇角度，我們就可以使整個三角形變大或變小，但所有長度都按相同的比例變化。我們不能改變一條邊的長度而不按相同的比例改變所有邊的長度，否則我們將改變角度。因此，一旦我們知道角度，我們就知道了邊的比率。給出這些比率的函式定義為

$\sin(A)={\frac {a}{c}}$ 和 $\cos(A)={\frac {b}{c}}$

'單位斜邊' 定義

正弦和餘弦的這個定義通常不會給出，但它也是有效的。

從原點畫一條單位長度線 $1$ 到一個點 $\left(x,y\right)$，該點與水平軸逆時針成 $\theta ^{\circ }$ 角。然後，從點 $\left(x,y\right)$ 畫一條平行於縱軸的線和一條平行於橫軸的線。

如果單位長度線 $1$ 是直角三角形的斜邊，那麼對於寬度為 $x$，長度為 $y$ 的直角三角形，以下函式成立

• $\cos \left(\theta \right)={\frac {x}{1}}$.
• $\sin \left(\theta \right)={\frac {y}{1}}$.

因為任何有理數除以 1 等於它本身

• $\cos \left(\theta \right)=x$.
• $\sin \left(\theta \right)=y$.

另一個定義如下。令 $y={\text{opposite}}$ 和 $x={\text{adjacent}}$

${\text{opposite}}=\sin \left(\theta \right)$

${\text{adjacent}}=\cos \left(\theta \right)$

練習

練習：這些定義是一樣的 使用第三個定義來說服自己，三種不同的定義正弦和餘弦的方法是一樣的，至少對於 $0^{\circ }$ 和 $90^{\circ }$ 之間的角度。

練習：單位圓 你在上一頁 繪製 (cos(t), sin(t)) 上做了練習嗎？真正重要的是嘗試一下並觀察餘弦和正弦與單位圓的關係。 至少你必須能夠在計算器上使用 $\cos$ 和 $\sin$，否則你將無法在三角學中取得很大進步。

練習：思考 三角函式的單位圓定義表明我們可以處理大於 $90^{\circ }$ 的角度。 $90^{\circ }$ 代表四分之一圓。 $360^{\circ }$ 代表一個完整的圓。如果我們有大於 $360^{\circ }$ 的角度，$\cos$ 和 $\sin$ 會發生什麼或應該發生什麼？

正切

在這一頁上我們想介紹另一個三角函式。它是正切函式，或者簡稱為 $\tan$ 。

對於單位圓定義，我們將 θ 的正切定義為

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

對於邊比定義，我們將 θ 的正切定義為

$\tan(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}$

根據單位斜邊三角形的正弦和餘弦定義，很明顯它們是相同的。

這些正切定義的結果是一樣的。 如果我們沒有根據單位斜邊三角形的正弦和餘弦定義，我們需要做更多的工作來證明正切的兩個定義是等價的。我們會做類似這樣的事情。 $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=\overbrace {{\frac {\sin(\theta )}{1}}\times {\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\times {\frac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}}} ^{{\text{Using definitions of}}\sin {\text{and}}\cos {\text{as ratios}}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}$ 值得檢查每一步。

正切還是切線？ 談到正切函式$\tan$時，最好始終說“正切”而不是“切線”。 原因是“切線”在數學中還有另一個含義。一個圓的“切線”是一條與圓相切但不與圓相交的直線——一個圓的切線，即使在兩個方向上無限延伸，也只與圓相交於一點。從與圓相交的點到圓心的直線總是與切線垂直。