三角函式/相位與頻率

頻率

一些不同頻率的波

這裡是一些正弦曲線（即類似正弦的）圖形。這些展示了具有不同頻率的正弦波。頻率向下移動時會增加。

波和光 在物理學中，光是一種波，光不同的頻率會產生光譜中的不同顏色。 紅光的頻率比藍光高還是低？ 在彩虹中，紅色在彩虹的外面還是裡面？雙彩虹呢？（使用網際網路） 無線電波的頻率比光波高還是低？（使用網際網路）

波和聲音 在物理學中，聲音是一種波。它在物理上與光不同，但它的振動仍然可以用正弦和餘弦來描述。光是一種電磁波，而聲音是一種涉及氣壓變化的波。這種差異是光能夠穿過太空真空而聲音不能的根本原因。 高音調的音符是高頻聲波。低音調的音符是低頻聲波。 找出人類和蝙蝠的最高可聽頻率。（使用網際網路） 用你自己的話解釋“赫茲”的含義，以及縮寫 KHz 中的 K 是什麼意思。 地震中的典型振動頻率是多少？

正弦和餘弦曲線

在上面這個圖中，我們選擇繪製波的顏色與頻率無關。兩個波的頻率相同，但我們使用了不同的顏色。

請注意，在上面正弦和餘弦的圖中，這兩個圖具有相同的形狀。如果我們將正弦曲線稍微向左滑動，它將與餘弦曲線完全重合。使用用來描述正弦波的術語，它們具有相同的振幅，相同的頻率和不同的相位。

定義

正弦波由三個引數表徵：振幅、頻率和相位。

• 振幅是指函式在 y 方向上從零變化的量，可以是正的，也可以是負的。
• 頻率是指在 x 軸上的單位距離（通常測量時間）內波的完整週期數。
• 相位與比較兩個相同頻率的波有關。它是指一個波相對於另一個波在 x 軸上的偏移量（以度或弧度測量）。

這種術語來自聲學工程，其中高頻聲音具有較高的音調，振幅較大的波會更響亮。

作為指定頻率（單位距離內的週期數）的替代方案，我們可以改為指定波長，即一個週期的長度。頻率越高，波長越短。頻率越低，波長越長。

您可以在頁面頂部的不同頻率的波圖中進行檢查。

更詳細地

要完全理解以下每個定義之間的關係，請檢視函式 $f(t)=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$ 的圖形（下方左側）。對於表示 (a)-(b) 的圖形，請閱讀相應的定義。

繪製的圖形由 Desmos 線上繪圖計算器提供。

振幅

振幅是波相對於正弦軸值 $c$ 的最大變化量，$c$ 是函式被函式最大值和最小值範圍的平均值 ${\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}$ 偏移的量。振幅來自兩個不同的位置：最大值減去 $c$ 或最小值減去 $c$。取值的正值（絕對值）。請檢視下面的資料示例。

$${\begin{array}{|c|c|}x&g(x)\\\hline 0&20\\\hline 2&0\\\hline 4&-20\\\hline 6&0\\\hline 8&20\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

目前，讓我們先不用擔心為這組資料找到函式。相反，重點是找到振幅。最大$y$-值為$y_{max}=20$。最小$y$-值為$y_{min}=-20$。因此，${\frac {20+(-20)}{2}}={\frac {0}{2}}=0$。最大差異來自兩個不同的位置：最大值減去正弦軸值或最小值減去正弦軸值。在本例中，我們將選擇使用最大值與正弦軸值之間的差，即$20-0=20$。因此，上述資料的振幅為$20$。

一般來說，對於$\sin(b\theta )+c$ 和 $\cos(b\theta )+c$（其中$b>0$）振幅為1。對於$a\sin(b\theta )+c$ 和 $a\cos(b\theta )+c$（其中$a>0$ 且 $b>0$）振幅為$a$。最大值與最小值之間的差稱為雙振幅或峰峰值振幅。知道了這一點，要根據範圍的最大值和最小值找到振幅，方法是取兩者的差，然後除以2。

$a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}$.

頻率

頻率（有時用 $f$) 表示在一個標準距離或時間內，波浪經過的週期數。 如果這個標準距離是 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，則 $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 的頻率為 $1$，而 $\sin(b\theta )$ 和 $\cos(b\theta )$ 的頻率為 $b$。高頻波形的圖形在相同的水平跨度內顯示出比低頻波形更完整的週期。 注意 $b$ 是頻率值，$f$，因此 $b=f$。

波長（或週期），$\lambda$，隨著頻率的增加而減小。 從數學上講，這種關係可以寫成 $\lambda \propto {\frac {1}{f}}$（波長與頻率成反比）。 它是一個完整週期發生的距離，即波浪從 $c$ 到其最大正值，再回到 $c$，再下降到最低負值，然後再次回到 $c$。

函式 $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 隨著角度增加 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，都會經歷一個完整的週期，因此這是波長。函式 $\sin(b\theta )$ 和 $\cos(b\theta )$（其中 $b$ 是任何正數）隨著角度 $\theta$ 增加 ${\frac {360^{\circ }}{b}}$ 或 ${\frac {2\pi }{b}}$ 經歷一個週期，因此它們的波長 $\lambda ={\frac {360^{\circ }}{|b|}}$ 或 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ 。這是有道理的，因為如果 $b=f$ 且 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ ，則 $\lambda \propto {\frac {1}{b}}$ 。

最後，利用波長，可以直接找到頻率。如果 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ ，那麼

$\Rightarrow \lambda \times {\frac {1}{\lambda }}\times b={\frac {2\pi }{b}}\times b\times {\frac {1}{\lambda }}$

$\Rightarrow b={\frac {2\pi }{\lambda }}$

相位移

相位是指在任何給定點上已完成的迴圈的比例。如果未指定點，則可以假設為 0°。迴圈的開始是波形為 0 且從負值變為正值的位置。（如果波形不是正弦曲線，則一個完整的迴圈中可能有多個這樣的點，因此起點可能是任意的。）對於 $\sin(\theta )$，0° 的相位為 0；對於 $\cos(\theta )$，則為 ¼。如果迴圈的波長為 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，相位通常表示為對應於給定波長比例的角，因此 $\cos(\theta )$ 在 0° 的相位為 $90^{\circ }$ 或 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 弧度。

假定波形的平均值為 0。如果波形為 $\sin(\theta )+4$ 或 $2\pi$，它從不為 0，因此為了定義相位，我們需要波形達到其平均值（在本例中為 4）的點。

示例

較大振幅 $10\cos(\theta )$ 的振幅是 $\displaystyle \cos \theta$ 的十倍。 圖形在 y 軸上在 10 和 -10 之間振盪。

較高頻率 $\cos(100\theta )$ 的頻率高於 $\cos(\theta )$ 在 x 軸上的相同距離內，將有 100 倍的迴圈。振幅保持不變。 波長也減小了。x 軸上完成一個迴圈的距離是之前的百分之一。

不同的相位 $\sin(\theta )$ 與 $\cos(\theta )$ 處於不同的相位。相位差為 90°，因為 $\sin(\theta +90^{\circ })=\cos(\theta )$。如果兩個波形相位相差 180°，那麼當一個波形為正時，另一個波形具有相同的值，只是符號為負。 $-\sin(\theta )$ 與 $\sin(\theta )$ 相位相差 180°。

偏移

兩個正弦波可能也具有不同的偏移，即它們的平均值不同，但它們仍然具有相同的形狀。它們的圖形相對於彼此沿 y 軸平移。在音訊工程中，這被稱為 **直流偏置**。

不同的偏移 $1+\cos(\theta )$ 與 $\cos(\theta )$ 具有不同的偏移。而 $\cos(\theta )$ 取正值和負值，$1+\cos(\theta )$ 永遠不會低於 0。

此偏移基於 **垂直位移**，也稱為 **正弦軸值**。請注意，與其他函式不同，此垂直位移 **不** 表示 y 軸截距。正確確定 y 軸截距的唯一方法是將零代入函式。快速問答：$\cos(0)$ 等於多少？如果你忘記了，它是 $1$。因此，$f(\theta )=1+\cos(\theta )$ 的 y 軸截距為 $f(0)=1+\cos(0)=1+1=2$。

圖形及其差異

對兩個不同專案進行比較和對比，一開始對學生來說可能似乎是一項毫無意義的任務。但是，此類活動的目的是讓學生分析資訊並幫助鞏固對兩種想法的差異的理解。這裡，學生必須理解餘弦和正弦之間的差異，否則，學生將無法正確地對情況進行建模！雖然這本華夏公益教科書不會讓學生自己分析這兩個函式，但記住它們之間的差異是一個好主意。

母函式

正弦曲線和餘弦曲線都在週期 ($\lambda =2\pi$ 上繪製，頻率為 $f=1$）。

上圖顯示了正弦和餘弦函式，其中 $0\leq x\leq 2\pi$. 請注意，這兩個函式的頻率和週期都是相同的。鑑於它們也是母函式，所以垂直位移為零。然而，相似之處到此為止。首先，觀察一下函式的模式。在 $\lambda =2\pi$ 內，週期函式 $\sin(x)$ 遵循“中間”、“頂部”、“中間”、“底部”、“中間”的基本模式。也就是說，$f(x)=\sin(x)$ 的值從 $f(0)=0$ 開始。但是，$f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$。當觀察正值時，這是正弦的最高可能值，因為當 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ 時，單位圓是頂峰的。在 $x=\pi$，$f\left(\pi \right)=0$。這再次與單位圓有關。如果你還記得你在圓中發現的模式（甚至單位圓本身），你可以推斷出$f(x)=\sin(x)$ 會是什麼樣子。範圍的最小值在 $-1$，正是因為這個原因。因此，我們識別的模式始終是正確的。

相比之下，餘弦函式遵循一個更簡單的模式。對於 $g(x)=\cos(x)$，你已經從最大值開始，因為 $g(0)=\cos(0)=1$ 是圓上最大的 $x$ 值，而 $g\left(\pi \right)=\cos \left(\pi \right)=-1$ 是圓上最小的 $x$ 值。由於單位圓，因此產生了簡單的模式：“最大”、“中等”、“最小”、“中等”、“最大”。

上面提到的模式是你應該牢記的東西。這些模式是人們可以輕鬆識別何時使用一個特定函式而不是另一個函式的主要方法。當應用相移時，選擇使用餘弦函式還是正弦函式最好留給學生的判斷。

從我們目前掌握的資訊來看，我們得到了以下資訊

• 垂直位移 $c={\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}={\frac {1+(-1)}{2}}={\frac {0}{2}}=0$。
• 振幅 $a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}={\frac {1-(-1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1$。
• 頻率 $b={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1$。

正弦函式的一般形式為

$$A\sin(B(x-D))+C$$

• 正弦可以替換為餘弦，效果相同。
• $A$ 是振幅。
• $B$ 是頻率。
• $C$ 是垂直位移（正弦軸值）。
• $D$ 是相位（水平）位移。

我們已經描述了餘弦和正弦函式的一般模式。但是，重要的是要退一步，欣賞餘弦和正弦曲線所依賴的底層數學，即單位圓。雖然這些函式很漂亮，但它們背後的數學原理，即為什麼這些函式以這種方式執行，才是這種美麗的根本原因，從某種意義上說，比最終結果更美。

畫兩個半徑分別為 $r$ 和 $R$ 的圓，圓心在原點，其中 $r<R$。如果從原點延伸的一條線在角度 $\theta$ 處到達每個圓的端點，那麼 $\cos \theta ={\frac {x_{1}}{r}}$，並且 $\cos \theta ={\frac {x_{2}}{R}}$。因此，

• $x_{1}=r\cos \theta$
• $x_{2}=R\cos \theta$

因為 $\cos \theta$ 直接乘以 $r$ 或 $R$，對於 $r<R$，$r\cos \theta <R\cos \theta$。

令 $f(\theta )=r\cos \theta$，$g(\theta )=R\cos \theta$，以及 $r=1$。因為我們知道如何繪製 $f(\theta )=\cos \theta$，$R$ 直接乘以 $\cos \theta$，以及 $g(\theta )=Rf(\theta )$，結果函式必須在 $y$ 軸上“擴充套件”。這種擴充套件必須與函式的振幅相關，因為 $Ry_{max}$ 和 $Ry_{min}$ 給出 ${\frac {Ry_{max}-Ry_{min}}{2}}={\frac {R\left(y_{max}-y_{min}\right)}{2}}=R\cdot {\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}=Ra=R$。（回顧 $a=1$）。

• 函式的振幅由圓的半徑給出。
• 改變圓的半徑不會改變頻率、垂直位移或相移。（練習：證明這至少對頻率和垂直位移是正確的。）

這個結果在以後解決問題時會很有用。

截至目前，增加半徑是我們能將這些正弦函式與圓形聯絡起來的唯一方法。我們需要更多地瞭解加法等概念，才能理解這個數學的美麗之處。但是，始終記住這個結果。

建模情況

正弦函式在現實生活中應用廣泛，這些週期（重複）函式可以模擬在一定時間內遵循模式的情況，例如模擬日照時間、行星運動、聲波、能量波等。

魚的長度 海洋生物學家確定了池塘中 $N=50,000$ 條魚的平均長度（以毫米計）取決於時間（以年計）。下表顯示了平均長度隨時間變化的關係，其中 $t$ 表示時間（以年計），$l(t)$ 表示魚的平均長度（以毫米計）。求出最能擬合這些資料的正弦函式。 $${\begin{array}{|c|c|}t&l(t)\\\hline 0&44\\\hline 3&40\\\hline 6&36\\\hline 9&40\\\hline 12&44\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$ 已知該情況具有周期性和正弦性。因此，最好使用正弦函式及其性質：$a{\text{ trig}}(b(x+d))+c$. 求出垂直位移，$c$。回想一下，$c={\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}$。根據表格，最大 y 值為 44，最小值為 36。因此，垂直位移為 ${\frac {44+36}{2}}=40$ 求出振幅，$a$。回想一下，$a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}$。根據表格，最大 y 值為 44，最小值為 36。因此，振幅為 ${\frac {44-36}{2}}=4$ 求出頻率，$b$。回想一下，$b={\frac {2\pi }{\lambda }}$。如果波長是完成一個迴圈所需的距離，那麼從 $t=0{\text{ sec}}$ 到 $t=12{\text{ sec}}$，迴圈完成。因此，$\lambda =12-0=12$。根據這些資訊， $b={\frac {2\pi }{12}}={\frac {\pi }{6}}$ 現在，讓我們忽略相移，$d$. 將我們已經知道的資訊代入上面的函式：$4{\text{ trig}}\left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$. 回想一下，一個在波長內（從最大值到中間值到最小值再到中間值到最大值）最大值再次出現的正弦函式是餘弦函式。因此$4\cos \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$ 足夠地模擬了這種情況。 等價地，假設我們希望保持它在正弦函式方面，我們知道以下為真 $\cos \left(\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)$ 因此，$4\cos \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left({\frac {\pi }{2}}-t\right)\right)+40=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left({\frac {\pi }{2}}+t\right)\right)+40=-4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left(t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+40$.

上面的問題與其他類似問題相比要容易得多。在現實世界中，由於兩個因素，您不太可能看到魚長持續增加或減少

• 進化：體型更大的魚通常被視為捕食者，常常被避開。體型更小的魚更有可能被視為更弱。
• 內部競爭：雌性之間的體型差異可能被視為更理想的交配物件，因此更有可能將具有這些特徵的後代遺傳下去。因此，雌性之間可能存在為了理想伴侶的競爭。

人們可能會有很多疑問：上面問題中的圓在哪裡？為什麼使用弧度而不是度數？. 有一些原因，但這需要我們更深入地研究通常被認為是高階數學的數學（極座標）。不幸的是，第一本書不會深入探討這個話題。但是，對於那些好奇的人來說，第三本書將包含極座標，全面解釋這種行為。