三角學/應用與模型

簡諧運動

簡諧運動 (SHM) 是可以由以下函式建模的物體的運動

x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)

或者

x=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)

其中 c₁ = A sin φ 且 c₂ = A cos φ。

在上述函式中，A 是運動的振幅，ω 是角速度，φ 是相位。

SHM 中物體的速度是

v=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)

加速度是

a=-A\omega ^{2}\sin \left(\omega t+\phi \right)=-\omega ^{2}x

諧波運動的另一種定義是

\displaystyle a=-\omega ^{2}x

一個應用是掛在彈簧上的重量的運動。彈簧的運動可以用胡克定律近似地建模

F = -kx

其中 F 是彈簧施加的力，x 是彈簧的伸長量（以米為單位），k 是一個常數，表徵彈簧的“剛度”，因此被稱為“剛度係數”。

從牛頓定律我們知道 F = ma，其中 m 是重量的質量，a 是它的加速度。將此代入胡克定律，我們得到

ma = -kx

兩邊同時除以 m

a=-{\frac {k}{m}}x

加速度的微積分定義給出

x''=-{\frac {k}{m}}x

x''+{\frac {k}{m}}x=0

因此我們得到一個二階微分方程。求解它，我們得到

x=c_{1}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)

(2)

自變數 t 表示時間。

我們可以將這個方程轉化為更簡單的形式。設 c₁ 和 c₂ 是直角三角形的兩條直角邊，角 φ 與 c₂ 相鄰，我們得到

\sin \phi ={\frac {c_{1}}{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}}

\cos \phi ={\frac {c_{2}}{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}}

以及

c_{1}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \phi

c_{2}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\cos \phi

代入 (2) 中，得到

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \phi \cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\cos \phi \sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)

使用三角恆等式，得到

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\left[\sin \left(\phi +{\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+\sin \left(\phi -{\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)\right]+{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\left[\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\phi \right)+\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t-\phi \right)\right]

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\phi \right)

(3)

令 $A={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}$ 以及 $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ 。將此代入 (3) 中得到

x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)