三角學/記住三角公式

記住公式

此頁面是關於如何記住三角公式 - 所以它不僅僅是三角公式的摘要。

您需要閱讀本書的大部分內容才能使此頁面對您有用。

藍框公式

在任何三角形中，角度
總和為 $180^{\circ }$

---

在直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩邊的平方和。

---

$Soh-Cah-Toa$

$\displaystyle {\begin{array}{ccc}\sin(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\cos(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{adjacent side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\tan(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\end{array}}$

檢查和記住公式的技巧

此頁面包含一些三角恆等式。它不包含所有三角恆等式。它不可能包含所有。除了'二倍角'的三角恆等式，例如

$\cos(2t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)$

還存在三倍角、四倍角等的三角恆等式。我們不可能全部列出它們。同樣，同一個公式可以用不同的形式表示，正如我們將在下面看到的那樣。

學習一些三角恆等式並知道如何快速輕鬆地從另一個三角恆等式推匯出一個三角恆等式是有用的。

檢查公式

確保你推匯出的公式合理也是非常重要的。我們知道 $\cos(0^{\circ })=1$。如果你對 $\cos(2t)$ 的公式在 $t=0$ 時得不到 1，那麼這個公式就是錯誤的！但不要就此止步。你可以找出錯誤之處，避免以後再犯同樣的錯誤。怎麼做呢？

如果你從 $\cos(A+B)$ 的公式推匯出 $\cos(2t)$ 的公式，你需要檢查你的步驟。如果錯誤不明顯，嘗試將 $A=0$ 和 $B=0$ 代入。在快速處理方程式時，很容易把符號弄錯，把加號寫成減號。只有透過練習，你才能既快又準。

基於勾股定理的恆等式

一些最基本的三角恆等式是從勾股定理推匯出來的。這些恆等式使用直角三角形定義

直角三角形

在本課程階段，勾股定理應該已經成為你的第二天性。如果你還沒有學習它，現在就開始學習吧。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$a$ 和 $b$ 當然是兩條直角邊，也就是鄰邊和對邊，而 $c$ 是斜邊，最長的邊，不包含直角的邊。這個公式只適用於直角三角形。如果圖中顯示為直角的角是鈍角，大於直角，那麼 $c^{2}$ 會大於勾股和。如果圖中顯示為直角的角小於直角，那麼 $c^{2}$ 會小於 $a^{2}+b^{2}$。

勾股定理用正弦和餘弦表示

勾股定理等同於

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$

我們從書中前面介紹${\rm {sine}}$ 和 ${\rm {cosine}}$ 的地方知道的。

• 當斜邊為 1 時，${\rm {cosine}}$ 是鄰邊。
• 當斜邊為 1 時，${\rm {sine}}$ 是對邊。

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$ 這個恆等式也應該很熟悉，但你應該也能夠從勾股定理推匯出它。

我們可以從一個斜邊為 'c' 而不是 1 的直角三角形中看出它是正確的。將勾股定理除以 $c^{2}$ ，我們得到

$\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {c}{c}}\right)^{2}=1$

我們已經從 soh-cah-toa 中看到，A 的正弦是 $\left({\frac {a}{c}}\right)$ ，A 的餘弦是 $\left({\frac {b}{c}}\right)$ 。

基於加法公式的恆等式

我們之前看到了加法公式。

字母是任意的

這些等式中的字母$A$ 和 $B\,$ 是任意的。我們同樣可以使用 $\omega$ 和 $\theta$。我們之所以要指出這一點，是因為我們在本頁上恰好有一個包含角度 $A$、$B$ 和 $C$ 的圖，我們希望明確表示這是針對畢達哥拉斯的，我們不再討論該圖。在這些等式中，你也可以始終用實際值替換，例如用 $\pi$ 替換 $A$，它們仍然是正確的。或者你可以用 $2t$ 或 $\pi -t$ 替換 $A$，它們仍然是正確的。

加法公式

餘弦的加法公式為

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$

值得學習。但是不要學習下一個公式

'減法' 公式

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$

學習第二個公式會額外花費精力，而不會真正給你帶來任何收益。你可以透過在第一個公式中用 $-B$ 替換 $B$ 來立即得到它。右側唯一會改變的是包含 $B$ 的項。因為 $\cos(-B)=\cos(B)$，$\cos(B)$ 保持不變。因為 $\sin(-B)=-\sin(B)$，第二項之前的減號會改變。

檢查'減法' 公式

現在做一個快速檢查。如果 $A=B$ 那麼 $cos(A-B)$ 是 $\cos(0)$ ，也就是 1，對吧？而右邊我們有 $\cos ^{2}(A)+\sin ^{2}(A)$ ，它也是 1。看起來不錯。

用這種方式記憶要好得多，因為你做的死記硬背更少，而且對代數的掌握也更熟練。

倍角公式

透過在加法公式中將 B 設為 A，你可以立即得到下一個公式。這是一個倍角公式。

$\cos(2A)=\cos ^{2}(A)-\sin ^{2}(A)$

半形公式

將 A 替換為 ${\frac {A}{2}}$ 在前面的結果中，你得到半形公式。

$\cos(A)=\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}-\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}$

Cos^2A=\2cos^2A-1

兩個平移餘弦的和

對於下一個公式，你可以直接進行代數運算......

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=\dots$

同相和異相波

在我們進行之前，請注意，我們正在新增兩個餘弦波，第一個向左平移，第二個向右平移。當我們檢視同相和異相波時，我們之前已經見過這種情況。我們將得到另一個正弦波。表示式相當對稱，實際上我們可以快速證明表示式給出了一個偶函式，也就是說，$-x$ 的值與 $x$ 一樣。

$\cos(-x+\theta )+\cos(-x-\theta )=$ 使用 $\cos(x)=\cos(-x)$ ，我們得到

$\cos(x-\theta )+\cos(x+\theta )=$ 現在交換這兩個項

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )$，這是原始表示式。

透過練習，你會能夠立即看到這些步驟，並且表示式是一個偶函式。

一個偶函式的正弦波——它基於餘弦。我們預計公式將簡化為類似於

$A\cos(x)$

其中 $A$ 將取決於 $\theta$。

要檢查的值

當 $\theta =0^{\circ }$（在原始公式中嘗試一下）時，我們預計 A 為 2。當 $\theta =90^{\circ }$ 時，我們預計 A 為 0，因為兩個餘弦波相差 $180^{\circ }$。所以現在要進行代數運算

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(-\theta )-\sin(x)\sin(-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )+\sin(x)\sin(\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )=$

$2\cos(\theta )\cos(x)$

為了驗證，我們嘗試使用 $\theta =0^{\circ }$ 並得到 $2\cos(x)$，我們也使用 $\theta =90^{\circ }$ 並得到 $0\times \cos(x)$，正如我們期望的。

瞭解大致的期望值使我們更容易得到正確的代數步驟。我們知道要去哪裡。我們知道我們不會得到四個獨立的項，其中一些必須抵消或以其他方式組合。

基於正弦和餘弦規則的恆等式

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$ .

這個公式很容易記住，因為它非常對稱。你甚至不需要記住比率的正反，因為這個公式也同樣成立。

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}={\frac {\sin(C)}{c}}$ .

你需要記住的是三角形的標記方式，才能保證公式成立。

關於餘弦定理公式：

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

最好把它理解為勾股定理的更一般形式。a 和 b 必須處於平等的地位，所以 ab 作為乘數是合理的。

如果你熟悉物理學中的“單位”，那麼使用單位必須匹配這一事實。數量 $a,b,c$ 是長度的測量值。將 $a^{2}$ 加到 $-2(a+b)\cos(\theta )$ 是沒有意義的，因為它們可能分別具有 Km² 和 Km 的單位。將 $a^{2}$ 加到 $-2ab\cos(\theta )$ 時，單位（例如：Km²）是匹配的。

更詳細地說，$-2ab\cos(\theta )$ 必須是負數。這是因為對於 $\theta <90^{\circ }$，我們需要 $c^{2}$ 小於勾股定理中的結果。

如何記住並確定 2 是正確的？考慮一個等邊三角形，每條邊長為 1。角度 $\theta =60^{\circ }$ 且 $\cos(60^{\circ })=0.5$。我們需要 2 來得到正確的結果 1 + 1 + 2x1x1x0.5 = 1。

比率恆等式

$\tan(A)={\frac {\sin(A)}{\cos(A)}}$

這是 tan 的一種定義，你需要牢記這一點。

基於對稱性的恆等式

這些對稱恆等式最好透過記住這些函式的圖形來記憶。如果你不記得它們，請再看一下圖形。

$0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 是正弦和餘弦圖形上的標誌點，你應該知道這兩個函式在這幾個標誌點上的值。有了這些知識，下面的對稱恆等式就很容易寫出來了，因為你可以直觀地看到它們。

左移

$\cos(\pi +A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi +A)=-\sin(A)\quad \tan(\pi +A)=\tan(A)$

上面的恆等式可以看作是將圖形向左移動 $\pi$ 。這是一個半週期，餘弦和正弦都改變符號 - 因此正切不改變符號，因為當它表示為正弦除以餘弦的比率時，分子和分母都改變了符號。

關於 $x={\frac {\pi }{2}}$ 對稱

$\cos(\pi -A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi -A)=\sin(A)\quad \tan(\pi -A)=-\tan(A)$

在上面的例子中，我們關於垂直線 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射圖形。花足夠的時間在圖形上觀察這一點，以瞭解它是如何成立的。記住這個技巧以記住發生了什麼非常重要。

現在正弦函式在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 處取得最大值（值為 1），並且關於該 x 值對稱，所以 $\sin(\pi -A)=\sin(A)$ 。餘弦函式在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 處為零。將餘弦函式關於直線 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射，會改變符號。 $\cos(\pi -A)=-\cos(A)$

餘角恆等式

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\sin(A)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

以上兩個公式最容易從餘弦和正弦的直角三角形定義中理解。直角三角形中兩個銳角之和為 ${\frac {\pi }{2}}$ ，我們只是用不同角度的三角函式表示邊的長度比。

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

$\sin(A)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

這兩個公式與之前的公式“相同”。我們可以透過兩個步驟得到它們。首先，從右邊的角度減去 pi，這會反轉符號，然後反轉符號以進行補償。接下來，反轉右邊的角度的符號。對於右邊的餘弦函式，我們已經完成了。對於右邊的正弦函式，由於反轉角度的符號改變了結果的符號，因此我們必須反轉它的符號。

是的，跟蹤符號很棘手，總是需要小心。