三角學/勾股定理

在一個直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩條邊的平方和。

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可汗學院 有關於這個主題的影片資料，你可能會更容易理解。

• 勾股定理，給出了定理。
• 勾股定理 II，對這個主題進行了練習。

定理

直角三角形

在一個直角三角形（直角三角形）中，最長的邊總是離直角最遠。它被稱為斜邊。斜邊的長度可以從另外兩條邊的長度計算出來。在圖中，c 是斜邊，我們可以用a 和b 來計算它。

這是一個關於勾股定理或畢達哥拉斯定理的陳述 - 作為將邊長a、b 和c 聯絡起來的等式：

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

其中c 代表斜邊的長度，a 和b 代表另外兩條邊的長度。

這僅適用於直角三角形！

對於直角三角形，其角點用 A、B、C 表示，如下所示，以下表示的是同一個意思。

${\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}$

我們只是用不同的符號表示邊長a、b 和c。

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幾何解釋

勾股定理：兩條直角邊（a 和b）上正方形的面積之和等於斜邊（c）上正方形的面積。

我們也可以用右側的圖來表示這個等式，其中直角三角形的每一側都有一個正方形連線到它。這是勾股定理的幾何解釋，將定理視為關於面積的定理。較小的正方形的面積加起來等於較大正方形的面積。

就面積而言，勾股定理指出

在任何直角三角形中，以斜邊（與直角相對的邊）為邊的正方形的面積等於以兩條直角邊（兩條在直角處交匯的邊）為邊的正方形的面積之和。

關於勾股定理的兩種說法完全相同，因為正方形的面積只是其中一邊的長度的平方。

定理的歷史

畢達哥拉斯， изображенный на монете III века

勾股定理以希臘數學家畢達哥拉斯命名，根據傳統，他被認為是該定理的發現者和證明者，儘管人們經常爭論說關於該定理的知識早於他。有許多證據表明巴比倫數學家理解了這個公式。

三個例項

在一個直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩條邊的平方和。

例子 1 勾股定理的一個常用例子是直角三角形，其中 $a=3$ 和 $b=4$，因為數字計算出來非常漂亮 ${\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\3^{2}+4^{2}&=&\\9+16&=&25\end{matrix}}$ 所以 $c^{2}=25$ 和 $c={\sqrt {25}}$ 和 $c=5$

示例 2 另一個常用的例子是一個直角三角形，其中另外兩個角分別是 $45^{\circ }$，且$a=1$ 和 $b=1$。這次答案不是一個整數 ${\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\1^{2}+1^{2}&=&\\1+1&=&2\end{matrix}}$ 所以 $c^{2}=2$ 和 $c={\sqrt {2}}$ 我們可以就此止步，或者給出答案的小數形式。 $c\approx 1.414$ 符號 $\approx$ 表示“近似”。

示例 3 另一個例子是一個直角三角形，其中較短的邊分別是 $p=11$ 釐米 和 $q=7$ 釐米。 關於 $p$ 和 $q$ 是什麼呢？只要我們保持一致，使用什麼字母來命名邊的長度並不重要。藍色框中的公式仍然成立。在這種情況下，我們可以將斜邊稱為 $r$，因此我們有 $p^{2}+q^{2}=r^{2}$。 ${\begin{matrix}p^{2}+q^{2}&=&\\11^{2}+7^{2}&=&\\121+49&=&170\end{matrix}}$ 所以 $r^{2}=170$ 和 $r={\sqrt {170}}$ 釐米 並將答案以小數形式給出。 $r\approx 13.04$ 釐米 答案合理嗎？ 值得檢查一下答案是否合理。如果短邊分別為 11 釐米和 7 釐米，長邊約為 13 釐米是否合理？是的，很合理。如果你得到的結果是 20 釐米（或 170 釐米），那就不合理了。另外兩條邊無法延伸那麼遠。或者，如果答案是 11 釐米或更小，你就知道你沒有得到斜邊的長度，即最長邊。我們這裡得到的結果是 13.04 釐米，這是合理的，我們可能應該將其四捨五入到 13 釐米。

三維

勾股定理在三維空間中將對角線 AD 與三個邊聯絡起來。

勾股定理可以應用於三維空間，如下所示。

考慮圖中所示的矩形體。矩形體底面上的對角線 *BD* 的長度可以透過勾股定理求得，公式如下：

${\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}$

其中這三條邊構成直角三角形。使用水平對角線 *BD* 和垂直邊 *AB*，對角線 *AD* 的長度可以透過第二次應用勾股定理求得，公式如下：

${\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}$

或者，一步完成：

${\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}$

這個結果是對角線 ${\overline {AD}}$ 關於三個互相垂直邊的三維表示式。

這個一步完成的公式可以看作是勾股定理對更高維度的推廣。然而，這個結果實際上只是對原始勾股定理的重複應用。

卡夫拉金字塔

一個三維的例子 卡夫拉金字塔；高 274 肘；底面 412 x 412 肘 用於計算傾斜邊 *AC* 長度的線條和標籤 這個例子是三維的，我們再次需要使用勾股定理兩次。 卡夫拉大金字塔高 274 肘，底面為正方形，邊長為 412 肘。從一個角到頂點的傾斜對角線邊的長度是多少？ 要回答這個問題，我們分兩個階段進行。請看圖示。 直線 ${\overline {AO}}$ 是垂直的，直線 ${\overline {OB}}$ 是水平的，因此存在一個直角三角形，其邊長為 ${\overline {AO}}$ 和 ${\overline {OB}}$。這使我們能夠計算長度 ${\overline {AB}}$。 我們需要小心。 ${\overline {AO}}$ 是 274 肘，但 ${\overline {OB}}$ 是正方形邊長的一半，所以 ${\overline {OB}}$ 是 ${\tfrac {412}{2}}=206$ 肘。 三角形 $\triangle AOB$ 的斜邊 ${\overline {AB}}$ 的長度是多少？那麼， ${\begin{matrix}{\overline {AO}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}&=&\\274^{2}+206^{2}&=&\\75,076+42,436&=&117,512\end{matrix}}$ 所以 ${\overline {AB}}^{2}=117,512$ 和 ${\overline {AB}}={\sqrt {117,512}}$ 肘 我們已經取得了進展，但我們想要的是長度 ${\overline {AC}}$，而不是長度 ${\overline {AB}}$。 現在我們有另一個直角三角形，$\triangle ABC$，直角在 B 點。我們要求線段 ${\overline {AC}}$ 的長度。我們剛剛計算了 ${\overline {AB}}$ 的長度，並且我們知道，因為金字塔的底面是一個正方形，所以 ${\overline {BC}}$ 再次是 206 肘尺。這次 ${\overline {AC}}$ 是斜邊（$\triangle ABC$ 的斜邊）。所以 $\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}&=&\\{\sqrt {117,512}}^{2}+206^{2}&=&\\117,512+42,436&=&159,948\end{matrix}}$ 所以 ${\overline {AC}}^{2}=159,948$ 和 ${\overline {AC}}={\sqrt {159,948}}$ 肘尺 ${\overline {AC}}\approx 400$ 肘尺

其他形式

如引言中所述，如果 c 表示斜邊的長度，a 和 b 表示另外兩邊的長度，則勾股定理可以表示為勾股方程

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

或者，解出 c

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

這就是我們在上面所有例子中所做的。我們利用較短的邊來計算斜邊的長度。

如果已知斜邊 c，並且需要找到其中一條直角邊的長度，則可以使用以下公式

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

或者

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

勾股方程提供了一個關於直角三角形三條邊的簡單關係，因此如果已知任意兩條邊的長度，則可以求出第三條邊的長度。

練習

一個立方體盒子用來運輸一臺印表機。如果一邊長 90 釐米，盒子中任意兩個頂點之間的最長距離是多少？

一個液晶電視螢幕從角到角測量為 26 英寸。螢幕高度為 13 英寸。螢幕寬度是多少？（精確到十分之一英寸）

該圖中，最長線的長度是多少？ 勾股定理的再現 在此問題中，您可以假設所有看起來像直角的角都是直角。

來自四維空間的外星人正在將他們的全息電視裝箱，準備前往地球。盒子尺寸為 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃（它是一個 4 維超立方體）。最長對角線的長度是多少？

如果一個房間長 17 英尺，寬 14 英尺，高 10 英尺，那麼(a)地板、(b)一端牆壁和(c)房間側壁的對角線長度是多少？

找到缺失的邊（畢達哥拉斯三元組） 在這些例子中，你都被告知 三角形的三邊都是整數。 三角形是一個直角三角形 你被告知了兩邊。 找到第三邊。哪邊是斜邊？ 你被告知的邊是 4、5，第三邊是多少？ 你被告知的邊是 5、12，第三邊是多少？ 你被告知的邊是 6、8，第三邊是多少？ 你被告知的邊是 40、41，第三邊是多少？

平方小數 $(-0.5)^{2}$ 是多少？ 在 -2 到 +2 之間的數字中，哪些數字平方後更接近於零？