三角學/三角公式記憶

記憶公式

此頁面介紹如何記憶三角公式，不僅僅是三角公式的總結。

你需要閱讀本書的大部分內容，才能使此頁面對你有所幫助。

藍框公式

在任何三角形中，角
總和為 $180^{\circ }$

---

在直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩邊的平方和。

---

$Soh-Cah-Toa$

$\displaystyle {\begin{array}{ccc}\sin(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\cos(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{adjacent side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\tan(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\end{array}}$

關於檢查和記憶公式的技巧

此頁面包含一些三角恆等式，但並非所有三角恆等式。它不可能包含所有恆等式。除了'倍角'的三角恆等式，例如

$\cos(2t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)$

還有三倍角、四倍角等的三角恆等式。我們不可能列出所有恆等式。此外，同一個公式可以以不同的形式表示，正如我們將在下面看到的那樣。

學習一些三角恆等式並瞭解如何快速、輕鬆地從一個三角恆等式推匯出另一個恆等式非常有用。

檢查公式

能夠檢查你得到的公式是否有意義也非常重要。我們知道$\cos(0^{\circ })=1$ 。如果你的$\cos(2t)$ 公式在$t=0$ 時沒有得到答案 1，那麼它就是錯誤的！但不要就此止步。你可以找出出錯的地方，從而避免再次犯同樣的錯誤。你該怎麼做呢？

如果你用 $\cos(A+B)$ 的公式推匯出 $\cos(2t)$ 的公式，你需要檢查你所採取的步驟。如果錯誤不明顯，嘗試將 $A=0$ 和 $B=0$ 代入。在快速處理方程式時，很容易出現符號錯誤，例如將加號寫成減號。只有透過練習，你才能既快速又準確地完成它。

基於勾股定理的恆等式

一些最基本的三角恆等式是從 勾股定理 推匯出來的。這些是使用直角三角形定義的

直角三角形

在這個階段，勾股定理對你來說應該已經很熟悉了。如果你還沒有學習它，現在就開始學習吧。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$a$ 和 $b$ 當然分別是直角邊或鄰邊和對邊，而 $c$ 是斜邊，最長的邊，不包含直角的邊。此公式僅適用於直角三角形。如果圖中顯示為直角的角是鈍角，大於直角，那麼 $c^{2}$ 將大於勾股和。如果圖中顯示為直角的角小於直角，那麼 $c^{2}$ 將小於 $a^{2}+b^{2}$ 。

勾股定理用正弦和餘弦表示

勾股定理等同於

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$

我們從本書前面介紹 ${\rm {sine}}$ 和 ${\rm {cosine}}$ 的地方知道的。

• 當斜邊為1時， ${\rm {cosine}}$ 是鄰邊。
• 當斜邊為1時， ${\rm {sine}}$ 是對邊。

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$ 這個恆等式對你來說也應該很熟悉，但你應該也能從勾股關係推匯出它。

我們可以從一個斜邊為 'c' 而不是 1 的直角三角形中看出這是真的。用 $c^{2}$ 除以畢達哥拉斯定理得到：

$\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {c}{c}}\right)^{2}=1$

我們已經從 soh-cah-toa 中看到，A 的正弦值為 $\left({\frac {a}{c}}\right)$，而 A 的餘弦值為 $\left({\frac {b}{c}}\right)$。

基於加法公式的恆等式

我們之前已經看到了加法公式。

字母是任意的

這些方程式中的字母 $A$ 和 $B\,$ 是任意的。我們也可以用 $\omega$ 和 $\theta$ 來表示。我們指出這一點是因為我們碰巧在這個頁面上有一個圖，其中包含角度 $A$、$B$ 和 $C$，我們希望明確指出這些是針對畢達哥拉斯定理的，我們不再討論該圖。在這些方程式中，你也可以始終代入實際值，例如用 $\pi$ 替換 $A$，它們仍然是正確的。或者你可以用 $2t$ 或 $\pi -t$ 替換 $A$，它們仍然是正確的。

加法公式

餘弦的加法公式為：

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$

值得學習。但不要學習下一個公式。

'減法' 公式

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$

學習第二個公式需要額外努力，實際上並不能帶來什麼實質性的益處。你可以透過在第一個等式中用 $-B$ 替換 $B$ 來立即得到它。等式右邊唯一改變的是包含 $B$ 的項。 $\cos(B)$ 不變，因為 $\cos(-B)=\cos(B)$ 。第二個項前的負號改變了，因為 $\sin(-B)=-\sin(B)$ 。

檢查'減法'公式

現在做一個簡單的檢查。如果 $A=B$ ，那麼 $cos(A-B)$ 是 $\cos(0)$ ，也就是1，對吧？而等式右邊我們有 $\cos ^{2}(A)+\sin ^{2}(A)$ ，它也是1。看起來不錯。

這樣記憶更好，因為你做的死記硬背更少，而且對代數更加熟練。

倍角公式

在加法公式中將B設為A，你就可以立即得到下一個公式。這是一個倍角公式。

$\cos(2A)=\cos ^{2}(A)-\sin ^{2}(A)$

半形公式

在前面的結果中用 ${\frac {A}{2}}$ 替換A，你就會得到半形公式。

$\cos(A)=\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}-\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}$

Cos^2A=\2cos^2A-1

兩個平移的餘弦函式之和

對於下一個公式，你可以直接進行代數運算...

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=\dots$

同相和異相的波

在我們進行運算之前，注意我們正在新增兩個餘弦波，第一個向左平移，第二個向右平移。我們之前在觀察同相和異相波時已經見過這種情況。我們將得到另一個正弦波。表示式相當對稱，實際上我們可以很快證明該表示式給出了一個偶函式，即 $-x$ 的值與 $x$ 的值相同 

$\cos(-x+\theta )+\cos(-x-\theta )=$ 使用 $\cos(x)=\cos(-x)$ 我們得到

$\cos(x-\theta )+\cos(x+\theta )=$ 現在交換兩個項

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )$ 這是原始表示式。

透過練習，你將能夠立即看到這些步驟以及表示式是一個偶函式。

一個正弦波是偶函式——嗯，它基於餘弦函式。我們預計公式將簡化為類似於

$A\cos(x)$

其中 $A$ 將取決於 $\theta$.

檢驗值

當 $\theta =0^{\circ }$（在原始公式中嘗試一下）我們預計 A 為 2。當 $\theta =90^{\circ }$ 我們預計 A 為 0，因為兩個餘弦波是 $180^{\circ }$ 異相。所以現在進行代數運算

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(-\theta )-\sin(x)\sin(-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )+\sin(x)\sin(\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )=$

$2\cos(\theta )\cos(x)$

為了驗證，我們嘗試使用 $\theta =0^{\circ }$，得到 $2\cos(x)$，我們也嘗試使用 $\theta =90^{\circ }$，得到 $0\times \cos(x)$，如我們所料。

對結果有一個大致的預期，可以讓我們更容易地進行代數運算。我們知道最終目標是什麼，也知道我們不會得到四個獨立的項，其中一些項必須相互抵消或以其他方式組合。

基於正弦和餘弦規則的恆等式

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$ .

這個公式很容易記憶，因為它非常對稱。你甚至不需要記住比率的正反關係，因為這個公式對它們都適用

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}={\frac {\sin(C)}{c}}$ .

你需要記住的是三角形的標記方式，以便公式成立。

對於餘弦定律公式

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

最好將其視為勾股定理的更一般形式。a 和 b 必須處於平等的地位，因此 ab 作為乘數是合理的。

如果你熟悉物理學中的“單位”，那麼請使用單位必須匹配的事實。數量 $a,b,c$ 是長度的測量值。將 $a^{2}$ 加到 $-2(a+b)\cos(\theta )$ 是沒有意義的。一個是 Km² 單位，另一個是 Km 單位。將 $a^{2}$ 加到 $-2ab\cos(\theta )$，單位，例如：Km²，是匹配的。

更詳細地說，對於 $-2ab\cos(\theta )$ 必須是負號。這是因為對於 $\theta <90^{\circ }$ 我們需要 $c^{2}$ 小於勾股定理。

如何記住並確保 2 是正確的？想一個等邊三角形，每邊長為 1。角度 $\theta =60^{\circ }$ 且 $\cos(60^{\circ })=0.5$ 。我們需要 2 來得到正確的答案 1 + 1 + 2x1x1x0.5 = 1。

比率恆等式

$\tan(A)={\frac {\sin(A)}{\cos(A)}}$

這是 tan 的一個定義，也是你應該學習的東西。

基於對稱性的恆等式

這些對稱恆等式最好透過記住這些函式的圖形來記住。如果你不記得它們，請再看一下圖形。

$0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 是正弦和餘弦圖形上的地標，你應該知道這兩個函式在這些地標上發生什麼。當你有了這些知識，下面的對稱恆等式就很容易寫下來，因為你可以直觀地看到它們。

左移

$\cos(\pi +A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi +A)=-\sin(A)\quad \tan(\pi +A)=\tan(A)$

上面的恆等式被視覺化為將圖形向左移動 $\pi$ 。這是一個半週期，餘弦和正弦都改變符號 - 因此 tan 不改變符號，因為當它被表示為正弦除以餘弦的比率時，頂部和底部都改變符號。

關於 $x={\frac {\pi }{2}}$ 的反射

$\cos(\pi -A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi -A)=\sin(A)\quad \tan(\pi -A)=-\tan(A)$

在上面，我們關於垂直線 $x={\frac {\pi }{2}}$ 對圖形進行了反射。花足夠的時間在圖形上觀察這一點，以確保這是真的。記住這個技巧來記住發生了什麼很重要。

現在，正弦函式在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 處有一個最大值（它等於 1），並且它關於該 x 值是對稱的，所以 $\sin(\pi -A)=\sin(A)$。餘弦函式在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 處等於 0。將餘弦函式關於直線 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射會反轉符號。 $\cos(\pi -A)=-\cos(A)$

餘角恆等式

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\sin(A)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

上面兩個公式最容易從餘弦和正弦的直角三角形定義中看出。這種三角形中的兩個銳角加起來等於 ${\frac {\pi }{2}}$，而我們只是根據另一個角度的三角函式給出邊長比率。

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

$\sin(A)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

這兩個公式與前面的公式“相同”。我們分兩步得到它們。首先從右手邊的角度中減去 pi，這反轉了符號，然後反轉符號以進行補償。接下來反轉右手邊的角度的符號。對於右手邊的餘弦，我們完成了。對於右手邊的正弦，我們必須反轉它的符號，因為反轉角度的符號改變了結果的符號。

是的，跟蹤符號很棘手，並且總是需要小心。