三角學/圓內接四邊形和托勒密定理
一個圓內接四邊形是指所有四個頂點都位於同一個圓上的四邊形。
一個四邊形是圓內接四邊形當且僅當它的兩組對角之和分別為 180º。
證明概述
從兩個相對頂點畫出到圓心的半徑；它們構成兩個角度，這兩個角度必須加起來為 360º。由於圓周角是圓心角的一半，因此對角之和必須為 180º。為了證明逆命題，考慮任意三個頂點的外接圓；如果第四個頂點不在此圓上，那麼對角之和將不會為 180º。
用上面的符號，如果 AB 表示線段 AB 的長度，以此類推，那麼
- AB·CD + BC·DA = AC·BD
證明
畫出 AC 和 BD。在 AC 上找到一點 X，使得 ∠ABX = ∠CBD。由於 ∠ABX + ∠CBX = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，因此 ∠CBX = ∠ABD。
△ABX 與 △DBC 相似，△ABD 與 △XBC 相似。因此 AX/AB = CD/BD，CX/BC = DA/BD，所以
- AX·BD = AB·CD，CX·BD = BC·DA
將這兩個等式相加，得到
- AX·BD + CX·BD = AB·CD + BC·DA
因此
- (AX+CX)·BD = AB·CD + BC·DA;
由於 AX+CX = AC，因此結果成立。
假設 ABCD 是一個圓內接四邊形，並且 ABC 是一個等邊三角形。那麼無論 D 在 AC 弧上的哪個位置，都有 DB = DA + DC。
四邊形的中垂線是指經過對邊中點並垂直於該邊的直線。
對於一個圓內接四邊形，它的四條中垂線是共點的。如果這個點是 X，四邊形外接圓的圓心是 O，那麼頂點的重心平分 OX。
如果按順時針方向排列的頂點是 A、B、C 和 D，這意味著三角形 ABC、BCD、CDA 和 DAB 都有相同的外接圓，因此具有相同的半徑。這四個三角形的內心始終位於一個矩形的四個頂點上；這四個點加上十二個外心形成了一個 4x4 的矩形網格。如果 P、Q、R 和 S 分別是外接圓上弧 AB、BC、CD 和 DA 的圓心，那麼直線 PR 和 QS 是矩形邊的垂直平分線。
四個垂心形成一個與原四邊形全等的四邊形；重心和九點圓的圓心各自形成一個與原四邊形相似的四邊形。