三角學/圓和三角形/塞瓦定理

塞瓦定理如下

設ABC是三角形的頂點。設D為BC邊上的一點，E為AC邊上的一點，F為AB邊上的一點。(點DEF可能在邊本身的延長線上，而不是邊本身。) 那麼，直線AD、BE、CF共點(即都交於同一點)當且僅當

$\displaystyle {AF \over FB}\times {BD \over DC}\times {CE \over EA}=1.$

它是由喬瓦尼·塞瓦(1648-1734)發現的。由於這個定理，任何連線三角形頂點到對邊上一點的直線有時被稱為塞瓦線。

塞瓦定理的一些推論

1. 三角形的中線共點。(這是三角形的重心。)

2. 三角形的角平分線共點。(這是三角形的內心; 這個結果已經被證明過了。)

3. 三角形的垂線共點。(這是三角形的垂心。)

4. (格爾岡定理) 設D、E、F分別是三角形ABC的內心與邊BC、CA、AB的切點。那麼直線AD、BE和CF共點。這個定理是由約瑟夫·迪亞茲·格爾岡(1771-1859)發現的。

5. (納格爾定理) 設D、E、F分別是三角形ABC的外心與邊AB、BC、CA的切點。那麼直線AD、BE和CF共點。