三角學/計算π

計算π的各種公式可以從$\arctan(x)$ 的冪級數展開式得到。

由於$\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$ ，我們有

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$

這個公式（由戈特弗裡德·萊布尼茨提出）收斂速度太慢，無法實際使用。但是，可以找到收斂速度快得多的類似公式。約翰·馬欽（1680-1752）證明了

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\tfrac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\tfrac {1}{239}}\right)$ .

這個公式被手持計算器廣泛使用。右邊第一部分很容易計算，因為求${\frac {1}{5^{n}}}$ 涉及非常簡單的除法，而第二部分只需要 50 項就能計算出 240 位小數。

萊昂哈德·尤拉（1707-1783）證明了

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan \left({\tfrac {1}{7}}\right)+2\arctan \left({\tfrac {3}{79}}\right)$ .

斯特默證明了

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan \left({\tfrac {1}{8}}\right)+2\arctan \left({\tfrac {1}{57}}\right)+\arctan \left({\tfrac {1}{239}}\right)$ ,

這個公式在 1962 年被用來將$\pi$ 計算到超過 100,000 位小數。