三角學/用半形公式解三角形

在本節中，我們將介紹使用半形公式解三角形的另一種方法。

給定一個邊長為a，b和c的三角形，定義

s = ¹⁄₂(a+b+c).

注意

a+b-c = 2s-2c = 2(s-c)

以及a和b的類似情況。

我們從餘弦定理得到

$\displaystyle \cos(A)={{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}$

Sin(A/2)

$\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)=1-\cos(A)=1-{{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}={{(a+b-c)(a-b+c)} \over {2bc}}={{2(s-b)(s-c)} \over {bc}}$

所以

$\displaystyle \sin \left({\frac {A}{2}}\right)={\sqrt {{(s-b)(s-c)} \over {bc}}}$.

根據對稱性，存在包含角 B 和 C 的類似表示式。

注意，在這個表示式和所有其他半形表示式中，總是取正平方根。這是因為三角形的一半形必須始終小於直角。

Cos(A/2) 和 tan(A/2)

$\displaystyle 2\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)=1+\cos(A)=1+{{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}={{(a+b+c)(b+c-a)} \over {2bc}}={{2s(s-a)} \over {bc}}$

所以

$\displaystyle \cos \left({\frac {A}{2}}\right)={\sqrt {{s(s-a)} \over {bc}}}$.

$\displaystyle \tan \left({\frac {A}{2}}\right)={\sin({\frac {A}{2}}) \over \cos({\frac {A}{2}})}={\sqrt {{(s-b)(s-c)} \over {s(s-a)}}}$.

同樣，根據對稱性，存在包含角 B 和 C 的類似表示式。

Sin(A) 和 海倫公式

可以用以下任何一個恆等式找到 sin(A) 的公式

$\displaystyle \sin(A)=2\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {A}{2}}\right)$

$\displaystyle \sin(A)={\sqrt {(1+\cos(A))(1-\cos(A))}}$

這兩個公式都得出：

$\displaystyle \sin(A)={\frac {2}{bc}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

始終使用正平方根，因為A不能超過180º。同樣地，透過對稱，有關於角B和C的類似表示式。這些表示式為正弦定理提供了另一種證明。

由於三角形的面積

$\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}bc\sin(A)$,

$\displaystyle \Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

這就是海倫公式。