三角函式/例題：角的化簡

符號變化

符號變化（或其他） $\cos(-3x)$ 我們知道 $\cos(-t)=\cos(t)$ 所以 $\cos(-3x)=\cos(3x)$

符號變化（或其他） $\sin(180^{\circ }-\theta )$ 我們知道 $\sin(-t)=-\sin(t)$ 所以 $\sin(180^{\circ }-\theta )=-\sin(\theta -180^{\circ })$ 我們同時交換了項的順序，只是為了避免寫 $-180^{\circ }+\theta$，節省了一個加號！當然我們可以這樣做，因為兩項的和不依賴於它們的順序。 我們也知道將正弦（或餘弦）的自變數移動 $\pm$ 180 度會反轉符號。所以我們現在可以去除 -180 並反轉符號得到 $\sin(180^{\circ }-\theta )=\sin(\theta )$

符號變化（或其他） $\cos(360^{\circ }-t)$ 我們知道移動 180 度會反轉符號。移動 360 度就是移動 180 度兩次。另一種思考方式是我們繞單位圓轉了一整圈。無論如何，表示式中的 360 度完全沒有影響，所以我們有。 $\cos(360^{\circ }-t)=\cos(-t)$ 我們也知道 $\cos(-t)=\cos(t)$ 所以 $\cos(360^{\circ }-t)=\cos(t)$

符號變化（或其他） $\cos(-5x)\sin ^{2}(180^{\circ }-t)$ 在$-5x$ 中的負號對結果沒有影響，因為它“隱藏”在餘弦函式內部。同樣，正弦函式中的 180 度位移和負號對結果的符號也沒有影響，因為它們相互抵消，而且正弦函式是平方運算。（詳細說明一下，如果我們得到了某個表示式的負正弦值，那麼將其平方後負號將再次消失）。所以 $\cos(-5x)\sin ^{2}(180^{\circ }-t)=\cos(5x)\sin ^{2}(t)$

餘弦轉正弦

餘角是指兩個角度加起來等於$90^{\circ }$的一對角，或者如果我們使用弧度制，則為${\frac {\pi }{2}}$。

在直角三角形中，其他兩個角（不是直角的兩個角）互為餘角。根據餘弦和正弦的定義，一個角的餘弦等於其餘角的正弦。同樣，一個角的正弦等於其餘角的餘弦。

餘角 餘角 $\cos(90^{\circ }-\theta )=\sin(\theta )$ $\sin(90^{\circ }-\theta )=\cos(\theta )$

餘弦是偶函式 因為餘弦是偶函式， $\cos(\theta -90^{\circ })=\cos(90^{\circ }-\theta )$ 所以 $\cos(\theta -90^{\circ })=\sin(\theta )$

正弦是奇函式 因為正弦是奇函式， $\sin(\theta -90^{\circ })=-\sin(90^{\circ }-\theta )$ 所以 $\sin(\theta -90^{\circ })=-\cos(\theta )$

每次加 90o 我們可以不斷地加或減 90o，並在正弦和餘弦之間切換，並可能切換符號。我們需要小心確保符號正確。 您可以根據需要檢視圖形來找出這些情況，或者只需確保您瞭解餘角，正弦是奇函式，餘弦是偶函式，以及加或減 180o 會反轉符號。 $\sin(\theta -180^{\circ })=-\sin(\theta )$ 加 180o 會反轉符號。 $\sin(\theta -90^{\circ })=-\cos(\theta )$ 取負，然後餘角（一個符號翻轉） $\sin(\theta )=\sin(\theta )$ $\sin(\theta +90^{\circ })=\cos(\theta )$ 減去 180o，然後取負，然後餘角（兩個符號翻轉）。 $\sin(\theta +180^{\circ })=-\sin(\theta )$ 180o 翻轉符號一次。 $\sin(\theta +270^{\circ })=-\cos(\theta )$ 減去 360o，然後取負，然後餘角（三個符號翻轉） $\sin(\theta +360^{\circ })=\sin(\theta )$ 360o 翻轉符號兩次 在這些情況下，取負這一步不會翻轉符號，因為我們處理的是餘弦 $\cos(\theta -180^{\circ })=-\cos(\theta )$ 加 180o 翻轉符號。 $\cos(\theta -90^{\circ })=\sin(\theta )$ 取負，然後餘角（沒有符號翻轉） $\cos(\theta )=\cos(\theta )$ $\cos(\theta +90^{\circ })=-\sin(\theta )$ 減去 180o，然後取負，然後餘角（一個符號翻轉）。 $\cos(\theta +180^{\circ })=-\cos(\theta )$ 180o 翻轉符號一次。 $\cos(\theta +270^{\circ })=\sin(\theta )$ 減去 360o，然後取負，然後餘角（兩個符號翻轉） $\cos(\theta +360^{\circ })=\cos(\theta )$ 360o 翻轉符號兩次

加法公式

使用加法公式