三角學/圓與三角形/垂足三角形

對於任意三角形 ABC，分別過每個頂點作垂線，垂線交對邊於 G、H、K。如上所述，垂線交於三角形的垂心 O。三角形 GHK 為 ABC 的垂足三角形。O 為其內心，ABC 為其外心三角形。如果 ABC 為直角三角形，則所有垂線都過直角，垂足三角形為一個點。

在四邊形 BKOG 中，K 和 G 處的角按定義為直角，因此 BKOG 是圓內接四邊形；類似地，AHOK 和 CGOH 也是圓內接四邊形。

如果 ABC 不是鈍角三角形，且邊長分別為 a、b 和 c，則 GHK 的角分別為 180º-2A、180º-2B 和 180º-2C，邊長分別為 a.cos(A)、b.cos(B) 和 c.cos(C)。如果 ABC 的外接圓半徑為 R，則可以將邊長寫成 Rsin(2A)、Rsin(2B) 和 Rsin(2A)。如果 ABC 為鈍角三角形，C 為鈍角，則 GHK 的角分別為 2A、2B 和 2C-180º，第三邊為 -c.cos(C)。

垂足三角形的性質

GHK 的面積為 ¹⁄₂(兩邊乘積)(夾角正弦) = ¹⁄₂Rsin(2B).Rsin(2C).Rsin(180-2A) = ¹⁄₂R².sin(2A).sin(2B).sin(2C)。

GHK 的外接圓半徑為 ${HK \over {2\sin(HGK)}}={{R\sin(2A)} \over {2\sin(180^{0}-2A)}}={R \over 2}.$

GHK 的外接圓稱為 ABC 的九點圓。

周長為 4Rsin(A)sin(B)sin(C)。內切圓半徑為 2Rcos(A)cos(B)cos(C)，三個外接圓半徑分別為 2Rcos(A)sin(B)sin(C)、2Rsin(A)cos(B)sin(C) 和 2Rsin(A)sin(B)cos(C)。

${\frac {OG}{AG}}+{\frac {OH}{BH}}+{\frac {OK}{CK}}=1$.

如果邊長分別為 g、h 和 j，則

${\frac {g}{a^{2}}}+{\frac {h}{b^{2}}}+{\frac {j}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2abc}}$.