三角學/餘割、正割、餘切

倒數恆等式

餘割 ($\csc$)，正割 ($\sec$) 和餘切 ($\cot$) 函式是“便利”函式，僅僅是正弦、餘弦和正切的倒數（即 1 除以）。所以

$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

$\cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}$

請注意，餘割是正弦的倒數，而從名稱上你可能期望它是餘弦的倒數！

所有可以用這些便利函式完成的事情，都可以透過完全寫出 $\sin$ 、$\cos$ 和 $\tan$ 的倒數來完成。

除非你計劃做大量的三角學並熟悉使用 $\csc$ 、$\sec$ 和 $\cot \,$，以便你可以快速操作，通常最好堅持使用 $\sin$ 、$\cos$ 和 $\tan$ 。只需識別這些函式並能夠在它們之間進行轉換，以防你必須回答的問題用它們來表述。

比率恆等式

因為

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

並且因為餘切的定義，

$\cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}={\frac {1}{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$

$\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$

練習：倒數三角函式的值 使用定義和您已經瞭解的關於正弦、餘弦和正切的知識 $\sec(x)$ 可以接近多少？ $\cot(x)$ 呢？

倒數三角函式的三角形

正弦和餘弦

正切和正割

餘切和餘割

上面的圖表顯示了三個與三角函式相關的三角形。第一個應該從正弦和餘弦的定義中熟悉。其餘兩個是透過 (a) 將所有邊除以 $\cos(\theta )$ ，以及 (b) 將所有邊除以 $\sin \theta )$ 獲得的。

因為這些都是直角三角形，所以我們可以直接從這些三角形中讀出畢達哥拉斯定理的變體。

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

$\tan ^{2}(\theta )+1=\sec ^{2}(\theta )$

$1+\cot ^{2}(\theta )=\csc ^{2}(\theta )$

畢達哥拉斯關係

畢達哥拉斯關係也可以在沒有圖表的情況下推匯出來。

從

$\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$

我們可以除以 $\cos ^{2}(a)$ 得到

${\frac {\sin ^{2}(a)}{\cos ^{2}(a)}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}(a)}}$

使用正切和正割的定義，它就是

$\tan ^{2}(a)+1=\sec ^{2}(a)$

---

或者，從

$\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$

我們也可以除以 $\sin ^{2}(a)$ 得到

$1+{\frac {\cos ^{2}(a)}{\sin ^{2}(a)}}={\frac {1}{\sin ^{2}(a)}}$

根據餘切和餘割的定義，可以得到

$1+\cot ^{2}(a)=\csc ^{2}(a)$

---

這些公式可以重新排列，使 1 在等號的一側單獨出現，例如從正切關係可以得到

$\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$

以及從餘切關係可以得到

$\csc ^{2}(a)-\cot ^{2}(a)=1$

記住公式

不需要刻意記憶這些公式。這些公式並沒有真正告訴我們任何新的東西。你應該能夠從 $\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$ 關係中快速推匯出它們。

代數快速檢查

代數檢查 值得快速檢查一下這些公式是否合理。符號錯誤很容易發生。以最後一個包含 $\tan$ 的公式為例。 $\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$ 我們知道可以做一個直角三角形，其中一個角為 $45^{\circ }$，邊長分別為 1, 1 和 ${\sqrt {2}}$，因此 $\tan(45^{\circ })={\frac {\rm {opposite}}{\rm {adjacent}}}=1$ . $\cos(45^{\circ })={\frac {\rm {adjacent}}{\rm {hypotenuse}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 因此，令 $a=45^{\circ }$ 。 $\sec(a)={\frac {1}{\cos(45^{\circ })}}={\sqrt {2}}$ 以及 $\sec ^{2}(a)={\sqrt {2}}^{2}=2$ $\tan ^{2}(a)=1^{2}=1$ 將這些值代入方程，$\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$ 。看起來沒問題。 $45^{\circ }$ 可能不是一個好的選擇，因為它無法區分 $\sin$ 和 $\cos$，但你應該能理解檢查方程是否合理的一般思路。

變化角度的關係

互餘角 由於 $\cos(a)=\sin(90^{\circ }-a)$，因此可得出（兩邊取倒數） $\sec(a)=\csc(90^{\circ }-a)$ 或 $\csc(a)=\sec(90^{\circ }-a)$。同時， $\cot(a)={\frac {\cos(a)}{\sin(a)}}={\frac {\sin(90^{\circ }-a)}{\cos(90^{\circ }-a)}}=\tan(90^{\circ }-a)$ .

練習：週期性及其他關係 由於 $\cos(-x)=\cos(x)$ 因此可得出 $\sec(-x)=\sec(x)$ 如果需要，請完整地寫出缺失的步驟。 填寫右側的缺失表示式 $\csc(-x)=$ $\sec(180^{\circ }+x)=$ $\csc(x-180^{\circ })=$ $\csc(90^{\circ }-\beta )=$ $\sec(90^{\circ }-\beta )=$ ${\frac {1}{\cot(180^{\circ }-\theta )}}=$ $\sec(90^{\circ }-\alpha )=$ $\csc(2\theta )=$ 您之後可能需要使用後面頁面上給出的倒數函式的圖形來檢查您的答案。