三角學/教師筆記/關於本書

本頁為那些已經瞭解三角學的人解釋了該書(或書籍)的結構和內容。我們還指出了教學要點。這可以幫助老師，但也為那些想新增材料的人提供指導，讓他們知道應該把材料放在哪裡，而無需他們先閱讀整本書。

書籍的特點（一覽）

有三本書

• 第一冊，基礎三角學，與可汗學院影片有廣泛的交叉引用。
• 第二冊探索了一些更漂亮但通常不會被檢驗的擴充套件，特別是與三角形相關的各種圓。
• 第三冊將正弦餘弦和指數函式聯絡起來，使用冪級數、複數和微積分。

所有三本書

• 都有為愛好者而設的部分
• 都有習題解答和練習題。
• 數學直接應用於計算機科學的頁面用一個符號標記。

本書與更傳統的教科書之間的一些區別包括對“如何檢查這一點？”，“如何學習/記憶這一點？”，“哪些約定是任意的，哪些是非任意的？”，“我們為什麼關心證明？”等問題的更大興趣。

三角學第一冊

基礎三角學本部分大致與可汗學院三角學課程（K-12）處於同一水平，旨在與其配合使用。我們不能假設學生精通代數，因此在本部分中，我們逐步解釋了許多內容。我們使用德國學校中使用的約定，即在右側寫下我們將在下一步中要做的內容。

我們可以很好地與其他資源、影片、線上練習等配合使用，並提供相關的連結以方便使用。我們也有自己的練習題。使用我們的課程並不一定需要訪問外部連結。總的來說，我們頁面上的練習比那些可以自動建立的更有趣，我們希望這將鼓勵學生真正完成它們，因為當然，學生必須以某種方式練習這些技能，並真正參與課程。

三角學第二冊

幾何擴充套件 - 通常不是考試內容本部分包含更多微積分前的三角學，不過使用了一些向量和矩陣數學。代數的進展速度比第一冊更快，但向量和矩陣數學在使用時會詳細解釋。這些主題不像第一冊那樣是理解三角學的核心。對於許多標準的三角學課程來說，第二冊是可選材料。本書加深了對三角形和圓之間多種關係的理解，並使用三角函式來研究橢圓和螺旋線。它展示瞭如何解決一些更難的三角函式恆等式。一些幾何材料的動機來自三角學在計算機中的應用。

三角學第三冊

微積分和複數中的三角學對於這部分更高階的內容，讀者需要學習一些基本微積分，熟悉多項式和微分，並“理解”負一的平方根的概念。對代數的更多熟練程度是假設的。這與基礎部分相比是一個巨大的飛躍，這就是為什麼我們不混合這三個部分的原因。

一些主題觸及了深奧的數學。這樣做的意義在於，三角學透過傅立葉變換進入更深層次的方式確實很深。引入一些更高階材料中使用的工具，如龐特里亞金對偶性、本徵函式，實際上有助於使所有這些變得更清晰。可以透過類比來理解這一點。從複分析的高點來看，三角學中的加法公式要簡單得多，也少得多。

每本“為愛好者而設”的子章節

所有三本書都有“為愛好者而設”的章節。

• 第一冊中一個例子是使用紐約和東京的緯度和經度以及地球半徑來計算它們之間的距離。這顯然是為愛好者而設的。這比你通常期望有人在基礎水平上進行的計算要複雜得多。“為愛好者而設”的基本部分只使用到那時為止已經教授過的三角學，沒有微積分、複數或聯立方程。
• 第二冊中一個例子是德勞內三角剖分，它在計算中有許多與幾何相關的應用。第二冊主要部分關於外接圓介紹了三元積所需的向量數學。
• 第三冊中一個例子是切比雪夫多項式，展示了它們是如何 (a) 以餘弦/正弦的形式展開的，以及 (b) 為什麼它們會逼近最小最大多項式（對於區間 [-1,1]）。

三角學第一冊內容

不包括微積分、冪級數、向量或複數。術語將在第一次使用時在頁面上解釋。

• 引言我們在首頁直接給出一個公式（勾股定理）。我們傳達了公式是核心的觀點，這是數學，沒有必要否認它，並說明三角學的用途。
• 三角形內角和為 180 度：我們使用本頁來傳達你可以根據一些資訊計算出更多關於三角形的資訊的觀點。術語“等腰”、“等邊”和“全等”被引入。我們還從很早就開始形成“證明”的概念。有很多例子說明某件事是正確的，但這與“證明”不同。然而，我們還沒有給出任何證明。一個習題解答使用代數來解$2a+50=180$。練習包括在該圖形中找到全等三角形...
• 勾股定理我們定義了“斜邊”並檢查學生是否能夠識別斜邊，展示公式是如何工作的以及如何重新排列它。我們查看了具體的例子，30-60-90 和 45-90-45 三角形。確保他們在不同的方向上也能夠識別它們。然後，我們展示瞭如何多次使用勾股定理，例如在螺旋形中使用，以及在“金字塔高度”的例子中使用。我們提醒說，我們還沒有證明勾股定理是正確的。練習。
• 證明：勾股定理我們給出了勾股定理的漂亮演示，以展示它為什麼是正確的，然後是歐幾里得的證明。
• 練習：一個謎題三角形

  

  圖表如何誤導人

  三角形謎題（由保羅·庫裡發明）。這以一種有趣的方式傳達了嚴謹性的重要性。那些想出答案的學生將更深刻地理解為什麼你需要在證明中謹慎並證明每一步。僅僅兩件事“看起來”一樣是不夠的。那些沒有自己想出解釋的學生仍然練習了計算面積和使用勾股定理。之後，當我們講完餘弦後，我們建議他們回去計算角度，這樣他們就可以獲得第二次機會。透過在之前的練習中討論過斜率（帶有路標），甚至在那些斜率中具有相同的接近比率，我們已經使這項練習變得更容易。
• 證明：內角和為 180 度:

  

  內角和為 180 度 - 使用該圖演示

  我們給出了一個漂亮的演示，使用三角形被分成四個較小三角形的影像來展示為什麼這是正確的。學生被要求說服自己，當三角形有一個鈍角時，這個結論仍然是正確的。確保他們知道較大的三角形沒有“更大的角”。我們隨後給出了傳統的證明。
• 練習：繪製 (Cos t, Sin t) 這是課程中非常重要的一頁，在這裡我們向學生介紹 $\cos t$ 和 $\sin t$ （以度為單位）。我們要求學生使用他們的計算器並繪製一些對 $(\cos t,\sin t)$ 對於各種值 $t$，如 0,30,60,45,90,120,135... 它們在圖上出現在哪裡？定義 $\sin$ 和 $\cos$ 作為單位圓上的點的 x 和 y。還要注意 sin/sine 和 coz/cosine 的發音。請注意，以這種方式使用單位圓來介紹餘弦和正弦是不尋常的，但它比從 soh-cah-toa 開始更容易。計算器上的餘弦和正弦按鈕是“單位圓”的發現可能會讓人感到高興和驚喜。
• Soh-Cah-Toa ，以 30-60-90 三角形為例。然後是 5-85-90 三角形！這與單位圓相關，並提醒當斜邊為 1 時，theta 的餘弦是鄰邊的長度。
• 正弦平方加餘弦平方 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ 它只是披著偽裝的勾股定理。解釋了符號，即 $(\sin x)^{2}$。需要一些時間來解釋，將介於負一和正一之間的數字平方會使其更接近零。
• 弧度 我們可以從 這頁 中提取一些弧度內容。
• 單位圓 圓形圖表和三角函式值表（作為根式）。
• 已知 ASA 求解三角形 已知 ASA 求解三角形
• 已知 SAS 求解三角形 已知 SAS 求解三角形
• 最難的三角形求解問題 我們能想到的最難的三角形求解問題是什麼？
• 示例：屋頂面積 使用真實的建築師圖紙。
• 示例：油輪抵達港口 顯示它行駛的路線和行駛的距離。
• 正弦定律 正弦定律
• 餘弦定律 餘弦定律
• 正切定律 正切定律
• 相位和頻率 $\sin(\pi /2-\theta )$
• 正弦、餘弦和正切的圖
• 正弦平方圖 $\sin ^{2}\theta$ 的圖
• 正弦加法公式 不僅僅是公式，還包括對證明的詳細講解。你如何想出必要的圖表？
• 餘弦加法公式
• 二倍角公式

• 波浪進出相位
• 拍頻
• 餘割、正割、餘切 餘割、正割、餘切。除了公式，我們還用鄰邊為 1 或對邊為 1 的三角形進行說明。我們不是這些函式的忠實粉絲，特別是後面許多恆等式。在這個級別上，提到這些函式就足夠了，然後堅持使用 1/sin、1/cos、1/tan，否則我們可能會使用它們。
• 餘割、正割和餘切的圖
• 反三角函式
• 其他內容
• 記住三角函式公式 記住公式 - 這裡沒有記憶技巧。這都是關於檢查公式是否合理。我連結的頁面有一些公式，我們將新增關於如何記住它們或立即推匯出它們的討論。

三角函式入門 1：為愛好者而寫

其中一些比其他更容易；幫助使這些內容對孩子們更容易理解，非常感謝。

• 介紹
• 正多邊形 六邊形的角之和，以及百萬邊形的角之和，以及邊的長度。將多邊形在中心、一個頂點或觀察外角處劃分，以顯示有多種方法可以做同樣的事情。
• 哪些正多邊形可以構成鑲嵌圖案？ 在這裡，我們允許混合，例如正方形和八邊形。
• 紐約到東京的距離 使用緯度和經度，以及從弦長計算弧長。
• 利薩如圖形 利薩如圖形
• CORDIC 演算法 這是一種很好的幾何展示，說明計算機如何使用角度 $2^{-n}\pi \,$ 的一個小錶快速計算正弦和餘弦。
• 勾股數 生成勾股數的公式
• 球面三角形 球面三角形。

三角學 第 2 冊 目錄

需要第 1 冊，對代數更熟練 - 因為展示的步驟更少 - 並且對於某些部分，需要對矩陣和向量有初步的瞭解。

• 介紹
• 三角學/三角函式的幾何定義
• 泰勒斯定理

  

  泰勒斯定理的動畫演示

  也解釋同樣的原理適用於任何角度，不僅僅是 90 度。
• 橢圓 使用正弦和餘弦繪製橢圓。演示的一部分是橢圓作為透視中的圓形。我們表明，這對真實透視和正投影（更簡單）都是有效的。
• 螺旋 使用 $\sin$ 和 $\cos$ 繪製螺旋
• 外接圓 介紹了三重積及其解釋。
• 內切圓
• 外接圓
• 外接圓三角形
• 垂足三角形
• 中心之間的距離
• 九點圓

三角學 第 2 冊：愛好者

• 德勞內三角剖分 一個很好的外接圓應用。
• 無需正弦
• 不常用三角恆等式 三倍（及更高）角公式，以及一些更漂亮但不太有用的三角恆等式，包括 這些。
• 度分秒 度分秒（我們不需要在正常的三角學中使用它們，但為了完整性應該包含它們）我並不真正喜歡這個頁面，所以希望其他感興趣的人可以寫它。

三角學 第 3 冊 目錄

3D 中的旋轉（包括四元數）將進入關於矩陣的華夏公益教科書，即不在此。可能向量和標量以及三重積也屬於那裡。

• 簡介 簡介 - 我們在整個過程中使用弧度。（簡要）複數和多項式微分的回顧。
• 餘弦的導數
• 正弦的導數
• e 的 x 次方的冪級數 將從 $2^{n}$ 和 $3^{n}$ 開始，並推匯出 $e^{n}$ 的冪級數。提醒一下，$4!$ 表示 1x2x3x4=24。我想引用一本新的華夏公益教科書 e-pi-phi-i，它將更深入地探討 $e$（和 $\pi$ 和 $\phi$ 和 $i$)，它將有很棒的插圖，尤其是對於 phi（螺旋）
• 餘弦的冪級數 然後我們將對 cos 做同樣的技巧
• 正弦的冪級數 然後對於正弦
• 正弦、餘弦、指數冪級數的關係 然後證明 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$。

• 正弦中的方波 將方波分解成正弦波
• 吉布斯現象 吉布斯“超調”。
• 簡諧振子

三角學 第 3 冊：愛好者

• 嚴格的三角學 給出三角函式的嚴格表述，描述為什麼微積分通常會涉及。（想法是定義一個角度需要圓的弧長，它被嚴格地定義為一個積分。）
• 切比雪夫多項式 切比雪夫多項式是對最佳（最小最大誤差）多項式的良好近似。

教師筆記

• 關於本書 此頁面。
• 常見學生錯誤 列出需要注意的事情。