三角學/正弦、餘弦和指數函式的冪級數關係
一個類似的函式是指數函式<math>e(\theta)\,</math>，它由以下陳述定義：<math>e(\theta)\,</math>的變化率為<math>e(\theta)\,</math>，並且<math>e(0)\,</math>的值為1。這裡我們只需要對變化率運算子應用一次就能回到起點。明確地說
<math>\frac{e(\theta+\delta\theta)-e(\theta)}{\delta\theta}</math> tends to <math>e(\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
可以重寫，將<math>\theta\,</math>替換為<math>i\theta\,</math>，其中<math>\,i</math>是任意常數，得到
<math>\frac{e(i\theta+\delta i\theta)-e(i\theta)}{\delta i\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
因為<math>i\,</math>是常數，<math>\delta i\theta = i\delta\theta\,</math>，執行此替換，我們得到
<math>\frac{e(i\theta+i\delta\theta)-e(i\theta)}{i\delta\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
<math>\Rightarrow \frac{e(1(\theta+\delta\theta))-e(i\theta)}{i\delta\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
<math>\Rightarrow \frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*e(i\theta)</math>
也就是說，<math>e(i\theta)\,</math>關於<math>\theta\,</math>的變化率為<math>i*e(i\theta)\,</math>。我們可以繼續這個過程，找到<math>i*e(i\theta)\,</math>關於<math>\theta\,</math>的變化率
<math>\frac{d i*e(i\theta)}{d\theta}</math> is the limit of:
<math>\frac{i*e(i(\theta+\delta\theta))-i*e(i\theta)}{\delta\theta}</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero, which is the same as:
<math>\frac{i(e(i(\theta+\delta\theta))-e(i\theta))}{\delta\theta}</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero, which is:
<math>i\frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*i*e(i\theta)</math>
連續執行四次得到，並與對<math>cos()\,</math>函式執行相同操作進行比較
<math>\frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d cos(\theta)}{d\theta} = - sin(\theta)</math>
<math>\frac{d i*e(i\theta)}{d\theta} = i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d -sin(\theta)}{d\theta} = - cos(\theta)</math>
<math>\frac{d i*i*e(i\theta)}{d\theta} = i*i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d -cos(\theta)}{d\theta} = sin(\theta)</math>
<math>\frac{d i*i*i*e(\theta)}{d\theta} = i*i*i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d sin(\theta)}{d\theta} = cos(\theta)</math>
如果存在一個數<math>i\,</math>，使得<math>i*i = -1</math>，因此<math>i*i * i*i = -1 * -1 = 1</math>，那麼我們可以將函式<math>cos()\,</math>與函式<math>e()\,</math>關聯起來。幸運的是，存在一個可以工作的數字：-1 的平方根。從現在起，<math>i\,</math>將表示-1 的平方根。<math>-i*-i = (-1)*i*(-1)*i = (-1)*(-1)*i*i = (1)*(-1)=-1</math>也是一個解。那麼我們可以預期<math>cos(\theta)\,</math>是<math>e(i\theta)\,</math>和<math>e(-i\theta)\,</math>的某種線性組合，也許
<math>cos(\theta) = A*e(i\theta)+B*e(-i\theta)\,</math>
我們知道<math>cos(0) = 1\,</math>，所以
<math>cos(0) = 1 = A*e(i*0)+B*e(-i*0) = A*e(0)+B*e(0) = A + B\,</math>
求關於<math>\theta\,</math>的變化率
<math>\Rightarrow \frac{d cos(\theta)}{d\theta} = \frac{d(\frac{A*e(i\theta)}{d\theta}+d(B*e(-i\theta))}{d\theta}</math>
<math>=> - sin(\theta) = i*A*e(i\theta) + -i*B*e(-i\theta) = - cos(\frac{\pi}{2}-\theta)</math>
令<math>\theta = 0\,</math>，記住<math>cos(\frac{\pi}{2}) = 0\,</math>，
<math>\Rightarrow 0 = iA - iB = i(A-B) \Rightarrow A = B</math>
所以現在我們知道<math>A+B = 1</math> 並且<math>A = B</math>，所以<math>A+A = 1</math>，所以<math>A = 1/2</math> 並且<math>B = 1/2</math>。
總結一下我們目前所知道的
<math>cos(\theta) = \frac{e(i\theta) + e(-i\theta)}{2}</math> where <math>\theta\,</math> is in radians and <math>i\,</math> is a square root of -1.
將<math>\theta\,</math>替換為<math>-\theta\,</math>反過來得到
<math>cos(-\theta) = \frac{e(-i\theta) + e(i\theta)}{2}</math>, the same formula, so we must have that <math>cos(\theta) = cos(-\theta)\,</math>.
給定
<math>cos(\theta) = \frac{\frac{e(i\theta)}{2} + e(-i\theta)}{2}</math>
我們可以找到兩邊關於 θ 的變化率來找到用 e() 表示的 sin()
-sin(θ) = i+e( iθ)/2 - i*e(-iθ)/2
=> sin(θ) = i*e(-iθ)/2 - i*e( iθ)/2
將 -θ 代替 θ 得到
sin(-θ) = i*e(iθ)/2 - i*e(-iθ)/2 = -sin(θ)
因此 sin() 是奇函式，將其與 cos() 進行比較，cos() 是偶函式，因為 cos(θ) = cos(-θ)。
我們可以用 cos() 和 sin() 表示函式 e()
cos(θ) + i * sin(θ) = e(iθ)/2 + e(-iθ)/2 + i*i*e(-iθ)/2 - i*i*e(iθ)/2
= e(iθ)/2 + e(-iθ)/2 - e(-iθ)/2 + e(iθ)/2
= e(iθ)
這被稱為“尤拉公式”。
從“餘弦倍角公式”中，我們知道
cos(2θ) = 2 * cos(θ)**2 - 1
令 θ = π/2，使得 cos(π/2) = 0，那麼
cos(2π/2) = 2 * cos(π/2)**2 - 1 => cos (π) = 2 * 0**2 - 1 => cos (π) = - 1
根據勾股定理
sin(π)**2 + cos(π)**2 = 1 => sin(π)**2 + -1**2 = 1 => sin(π)**2 = 0 => sin(π) = 0
因此，我們可以將 e(iπ) 評估為
e(iπ) = cos(π) + i * sin(π) = -1 + i * 0 = -1;
類似地，我們可以從 e(iθ) 評估 e(-iθ)
e( iθ) = cos( θ) + i * sin( θ) => e(-iθ) = cos(-θ) + i * sin(-θ) => e(-iθ) = cos(θ) - i * sin( θ) as cos() is even, sin() is odd
這個結果使我們能夠評估 e(iθ)e(-iθ)
e(iθ)e(-iθ) = (cos(θ) + i * sin(θ))(cos(θ) - i * sin(θ))
= (cos(θ)**2 - i*i*sin(θ)**2)
= cos(θ)**2 + sin(θ)**2 as i*i = -1
= 1 Pythagoras
從“餘弦倍角公式”開始，我們知道
cos(2θ) = 2 * cos(θ)**2 - 1
將 cos() 替換為其在 e() 中的公式
cos(θ) = e(iθ)/2 + e(-iθ)/2
得到
e(2iθ)/2 + e(-2iθ)/2 = 2 * (e(iθ)/2 + e(-iθ)/2)**2 - 1
= 2 * (e(iθ)/2)**2+(e(-iθ)/2)**2 +2e(iθ)e(-iθ)/4) - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + e(iθ)e(-iθ) - 1
但是
e(iθ)e(-iθ) = 1
所以我們繼續代數簡化得到
e(2iθ)/2 + e(-2iθ)/2 = (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + e(iθ)e(-iθ) - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + 1 - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2
再次
e(iθ)e(-iθ) = 1
所以我們不得不得出結論
e( 2iθ) = e( iθ)**2 and e(-2iθ) = e(-iθ)**2 for any angle θ.
e() 函式的行為類似於求冪，也就是說我們可以寫成
e(iθ) = e**iθ
其中 e 是一個數值未知的數，它是方程的解
e**iπ = -1
由於 e() 函式的行為類似於指數
e(i*θ1) * e(i*θ2) = e**(i*θ1) * e** (i*θ2) = e**(i*(θ1+θ2)) = e(i(θ1+θ2))
特別是
(cos(θ) + i * sin(θ))**n = e(iθ)**n
= (e**iθ)**n
= e**inθ
= e(inθ)
= (cos(nθ) + i * sin(nθ))
讓我們用 n = 2 試試這個公式
(cos(θ) + i * sin(θ))**2 = cos(2θ) + i * sin(2θ)
=> (cos(θ)**2 - sin(θ))**2 + 2 * i * cos(θ)sin(θ) = cos(2θ) + i * sin(2θ)
現在，數字 i 明顯不是實數，因為沒有實數是方程 i*i = -1 的解，然而 cos() 和 sin() 函式都產生實數結果，畢竟，它們只是三角形邊長之比。因此，在上述中，我們可以將被 i 乘以分割的方程部分相等，得到兩個方程
cos(2θ) = cos(θ)**2 - sin(θ))**2 sin(2θ) = 2*cos(θ)*sin(θ)
回想一下“餘弦角和公式”
cos(θ1+θ2) = cos(θ1)cos(θ2) - sin(θ1)sin(θ2)
令 θ = θ1 = θ2 得到相同的結果
cos(θ+θ) = cos(2θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ)
同樣，回想一下“正弦角和公式”
sin(θ1+θ2) = cos(θ1)sin(θ2) + sin(θ1)cos(θ2)
令 θ = θ1 = θ2 得到相同的結果
sin(θ+θ) = sin(2θ) = cos(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(θ) = 2*sin(θ)cos(θ)
使用餘弦和正弦角和公式，並將部分相等，我們可以推匯出
e(i*θ1) * e(i*θ2)) = (cos(θ1) + i * sin(θ1)) * (cos(θ2) + i * sin(θ2)) = (cos(θ1)*cos(θ2) - sin(θ1)*sin(θ2) + i(cos(θ1)sin(θ2)) + cos(θ2)sin(θ1)) = cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2) = e(i(θ1+θ2))
其中 e() 函式完美地展示了其指數性質。
i 能夠將單個方程劃分為兩個正交聯立方程的能力使 e(iθ) 的形式表示式，因此使三角學，在電子學等多種應用中變得非常寶貴：在同一個方程中同時表示電流和電壓；以及量子力學，在其中需要將位置和動量，或時間和能量表示為由不確定性原理分割的變數對。