三角學/愛好者/嚴謹的三角學

角度介紹

當兩條直線相交時，就會形成一個角；交點稱為頂點。我們可以將角視為兩條直線相交處的楔形空間。請注意，如果將兩條直線都透過交點延長，實際上就會有四個角。

角的大小是兩條直線之間的旋轉度數。我們必須旋轉一條直線與另一條直線相交的次數越多，角度就越大。

假設您想精確測量兩條直線之間的角度，以便告訴遠處的朋友：以交點為圓心畫一個圓，確保圓足夠小以穿過兩條直線，但又足夠大以便您測量圓周上兩條直線交點之間的距離。顯然，此距離取決於圓的大小，但是隻要您告訴您的朋友所用圓的半徑和圓周上的長度，那麼您的朋友就可以精確地重建該角度。

角度定義

角是由射線繞其端點旋轉確定的。射線起始位置稱為角的起始邊。射線終止位置稱為終邊。射線的端點稱為其頂點。正角是由逆時針旋轉產生的。負角是由順時針旋轉產生的。

因此，一個角有四個部分：它的頂點、它的起始邊、它的終邊和它的旋轉。

當一個角在笛卡爾座標系中以其頂點位於原點，起始邊為正 x 軸的方式繪製時，它被稱為處於標準位置。

三角形定義

三角形是一個平面（扁平）形狀，具有三條直邊。三角形的每兩條邊之間都會形成一個角，一個三角形有三個角，因此得名三角形。所以一個三角形有三個直邊和三個角。

如果你給我三個長度，我只能用它們做一個三角形，如果最長的長度小於另外兩個長度的總和。三個不能構成三角形邊的長度是你的身高，最近的樹的高度，從樹頂到太陽中心的距離。

三角比

角度不受線條長度的影響：角度在比例變換下是不變的，即

如果你把三角形變大，
但保持邊之間的比例不變，
它的角度不會改變。

直角

一個特別重要的角是直角：正方形或矩形的每個角處的角。一個矩形總是可以透過從矩形的一個角到對面角畫一條線來分成兩個三角形。

每個直角三角形都是半個矩形也是真的。

一個矩形有四條邊；它們通常有兩種不同的長度：兩條長邊和兩條短邊。（所有邊都相等的矩形是正方形。）當我們將矩形分成兩個直角三角形時，每個三角形都具有矩形中的長邊和短邊，以及分割線的副本。

因此，直角三角形的面積是其分割成的矩形面積的一半。觀察一個直角三角形，我們可以知道該矩形的長邊和短邊是什麼；它們是直角相交的邊，即線段。完整矩形的面積是長邊乘以短邊。因此，直角三角形的面積減半。

直角三角形和測量

可以使用以下過程僅使用圓（可以用圓規繪製）和直線來平分任何角度

將角的頂點稱為 O。以 O 為圓心畫一個圓。
標記圓與每條射線的交點。將這些點稱為 A 和 B。
以 A 和 B 為圓心畫兩個半徑相等的圓，但確保這些半徑足夠大以使圓在兩點相交。一個確保這樣做的方法是畫線段 AB，並將圓的半徑設為該線段的長度。在圖中，圓 A 和圓 B 顯示為圓的近一半部分。
標記這兩個圓的交點，並將這兩個點用一條線連線起來。這條線平分了原始角。

關於這條線平分角的證明可以在《幾何原本》第一卷命題 9中找到。

給定一個直角，我們可以用這個過程無限地分割這個直角，以形成任何二進位制分數（即， ${\frac {1}{2^{n}}},n\in \mathbb {Z}$ ，例如 ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}}...$ ）。因此，我們可以用直角來測量任何角度。也就是說，一個測量系統，其中直角的大小被認為是1。

弧度制的介紹

當然，也可以從不同的角度開始，並將其分成兩個相等的角。我們可以認為半圓形成的角度為“1”，或全圓形成的角度為“1”。

如果我們選擇以下奇怪的角度作為“1”，三角學將得到簡化。

1. 畫一個圓，並標記半徑。
2. 從半徑與圓周相交的點開始，沿圓周測量一個半徑長度，並沿逆時針方向標記此點。
3. 從這個標記點畫一條線到圓心。
4. 這樣形成的角度在三角學中被認為是1；為了告訴你的朋友你使用的是這種方法，你會說“用弧度測量”。

理解弧度的三條邊

為了說明弧度的三條邊是如何相互關聯的，嘗試以下思維實驗。

1. 假設你有一根繩子，它的長度正好等於圓的半徑。
2. 假設你在同一個圓內畫了一個弧度。弧度有3個點。一個點是圓心，另外兩個點是在圓周上弧度的兩條邊與圓相交的地方。
3. 將繩子的一端固定在弧度與圓周相交的其中一個點上。
4. 從你上面步驟2中選擇的那一點開始，用繩子的另一端沿著圓周追蹤圓，朝弧度與圓周相交的第二個點移動，直到繩子被拉緊。
5. 你會看到繩子的末端超過了第二個點。
6. 這是因為繩子現在是一條直線。然而，弧度用一條弧作為第三邊，而不是一條直線。儘管弧度有三個相等的邊，但弧的曲線會導致弧度與圓周相交的兩個點比它們到三角形第三個點的距離更近，在本例中，這個點是圓心。
7. 現在，在繩子仍然拉緊的情況下，找到繩子的中點，然後將其拉到圓周上，同時讓繩子的末端沿著圓周移動。繩子的末端現在更靠近第二個點了，因為繩子的路徑更靠近圓周的路徑。
8. 我們可以透過將繩子的每個新部分都分成一半，並將其拉向圓周，不斷改進繩子路徑與圓周路徑的匹配度。

弧度會受其圓的大小影響嗎？也許使用大圓的半徑會產生與使用小圓的半徑不同的角度。答案是否定的。

使用什麼大小的圓來測量弧度有關係嗎？也許使用大圓的半徑會產生與使用小圓的半徑不同的角度。答案是否定的。

回顧我們上面小節中的弧度和圓。在第一個圓裡面畫另一個圓，與第一個圓有相同的圓心，但半徑只有一半。你會看到你在較小的圓內建立了一個新的弧度，它與較大圓內的弧度具有相同的角度。我們知道，兩個弧度從圓心發出的兩條邊等於它們各自圓的半徑。我們還知道，較大圓內弧度的第三邊（弧）也等於較大圓的半徑。但是我們如何知道較小圓內弧度的第三邊（沿著較小圓圓周的弧）等於較小圓的半徑？為了弄清楚為什麼我們知道較小圓弧度的第三邊等於它的半徑，我們首先將每個弧度與圓相交的兩個點彼此連線起來。這樣一來，你就建立了兩個等腰三角形（有兩個相等邊和兩個相等角的三角形）。

等腰三角形有兩個相等的角和兩個相等的邊。如果你知道任何等腰三角形的一個角和構成這個角的兩條邊的長度，那麼你可以很容易地推斷出等腰三角形的其餘特徵。例如，如果等腰三角形的兩條等距邊相交形成一個等於 40^o 的角，那麼你知道剩下的兩個角都必須等於 70º。由於我們知道我們兩個等腰三角形的等距邊構成了我們已知的角，那麼我們可以推斷出我們兩個弧度（當轉換為具有直線的等腰三角形時）具有相同的第二個和第三個角。我們還知道，具有相同角度的三角形，無論它們的大小如何，它們的邊長之比都是恆定的。例如，我們可以推斷出，如果我們知道一個等腰三角形的邊長為 1 米 × 2 米 × 2 米，那麼一個具有相同角度的等腰三角形的邊長將為 2 米 × 4 米 × 4 米。因此，在我們的例子中，由較小的第二個圓形成的等腰三角形的第三邊將正好等於由較大圓建立的等腰三角形的第三邊的一半。兩個具有相同角度的三角形的邊長之比，也存在於具有相同圓心的兩個圓的半徑和周長之間——它們將具有完全相同的比率。因此，在我們的例子中，由於我們第二個較小圓的半徑正好是較大圓的一半，因此較小圓弧度相交的兩個點之間的圓周（我們已經證明是較大圓上兩個相似點之間距離的一半）將具有完全相同的比率。就是這樣——圓的大小無關緊要。

用弧度測量角度

一旦我們有了1弧度的角度，我們就可以像處理直角一樣將其分割成二進位制分數，從而得到大量的已知角度，用來測量未知角度。量角器是一種使用這種技術來近似測量角度的裝置。用量角器測量角度的方法：將量角器的標記中心放置在要測量的角度的頂點上，將量角器右側的零弧度線與角度的一條邊對齊，然後讀出角度的另一條邊與量角器邊緣相交的位置。量角器通常是透明的，上面畫有角度線，以幫助你測量由短線形成的角度：這是允許的，因為角度不取決於形成它們的線的長度。

如果我們同意用弧度測量角度，那麼瞭解一些易於定義的角度的大小將很有用。當然，我們可以簡單地畫出角度，然後用量角器非常精確地測量它們，儘管仍然是近似的：但是，那樣我們就會是在做物理，而不是數學。

圓的周長與其半徑之比定義為 2π，其中π 是一個不變數，與圓的大小無關，上述論據證明了這一點。因此，如果我們沿圓的圓周從圓周上的一個給定點移動 2π 個半徑，我們將回到起點。我們必須得出結論，圓周上繞一圈形成的角度為 2π 弧度。同樣，繞圓半圈將是 π 弧度。想象一下，沿著對稱軸將一個圓對摺：形成的摺痕將是一條直徑，即穿過圓心的直線。因此，一條直線的角度大小為 π 弧度。

將半圓對摺再對摺，得到一個四分之一圓，因此它的角度必須是 π/2 弧度。四分之一圓是直角嗎？為了說明它是直角：畫一個正方形，它的四個角點都在圓周上。畫出連線正方形對角線的線段，由於對稱性，這些線段將穿過圓心，形成 4 個相似三角形。每個三角形都是等腰三角形，在圓心處兩條等長邊相交，形成的角度為 2π/4 = π/2 弧度。因此，三角形的另外兩個角必須相等，並且和為 π/2 弧度，也就是說，每個角的大小必須為 π/4 弧度。我們知道這樣的三角形是直角三角形，因此我們可以得出結論，π/2 弧度角確實是一個直角。

總結和附加說明

總之，我們可以利用幾何論證來推斷特定條件下某些角度的大小。然而，一般情況下，僅僅依靠幾何學不足以確定任意三角形中未知角度的大小。為了解決這類問題，我們需要三角函式的幫助。

原則上，所有角度和三角函式都定義在單位圓上。數學中“單位”一詞指代任何長度的單個度量。稍後，我們將把從單位度量中學到的原理應用到更大（或更小）比例的問題中。我們需要的全部函式都可以從內接於單位圓的三角形中推匯出來：它恰好是一個直角三角形。

單位圓的圓心將被設定在笛卡爾平面上，圓心位於平面的原點——點 (0,0)。因此，我們的圓將被分成四個部分，或象限。

象限總是逆時針計數，這也是角速度 $\omega$ (omega) 的預設旋轉方向。現在我們在第一象限（即 x 軸和 y 軸都被賦予正值的象限）內內接一個三角形，讓角度的一條邊在 x 軸上，另一條邊平行於 y 軸。（只要看看圖示，就能弄清楚）。現在我們讓斜邊（始終為 1，即我們單位圓的半徑）逆時針旋轉。你會注意到，當我們進入一個新的象限時，會形成一個新的三角形，這不僅是因為三角形內角和不能超過 180°，而且因為在二維平面上無法想象其他情況。