UMD 分析資格考試/Aug05 真題

問題 1

設$f$ 是 $R$ 上的有界可測函式，存在一個常數$C$ 使得 $\forall \epsilon >0,m(x\in R:|f|>\epsilon )<C/{\sqrt {\epsilon }}$ 證明 $f\in L^{1}(R)$.

解答 1

我們將考慮兩個不同的區域：{x:|f(x)|>1} 和 {x:|f(x)|<=1}，然後證明 f 在這些區域上的積分都是有限的。由於 f 有界，由 M 限制，我們可以利用假設 m(x:|f(x)|>1) < C/1，第一個積分由 MC 限制。

對於第二個積分，考慮集合 E_n={x:|f(x)|<1/n}。根據假設，m(E_n)<C*n^1/2。對於 n>m，E_n 顯然包含 E_m，所以我們可以取集合 S_n=E_n+1\E_n，它就是 {x:1/(n+1)<|f(x)|<=1/n}。利用集合包含關係，我們也可以得到 m(S_n) 的界限。S_n 的度量可能大於 C*(n+1)^1/2-C*n^1/2（最多為 C*(n+1)^1/2），但這種額外的質量只能以 m(E_n) 為代價獲得，因此會減少 |f| 的積分。由於我們感興趣的是最大化這個積分並證明這個最大值是有限的，因此 C*(n+1)^1/2-C*n^1/2 的界限是合理的（即這是最壞的情況，隨著 1/n 趨於零，每個後續的 E_n 都具有最大可能的尺寸）。

這使得積分的上界為從 n=1 到無窮大的求和 (C*(n+1)^1/2-C*n^1/2)/n（透過 m(S_n)*(S_n 上 |f| 的上限)）。透過比較連續項，我們得到了 C*n^1/2*(1/(n-1) - 1/n) 的求和，對於 n = 2 到無窮大，在 n=1 處有一個有限項。在計算減法後，每個項都變為 C*n^1/2/(n*(n-1))，它的大小為 C/n^3/2。因此，求和收斂，併為積分提供了上限。

注意：S_n 尺寸的論證是正確的，但肯定可以更好地表達。