UMD 分析資格考試/2006 年 8 月真題

問題 1a

證明黎曼-勒貝格引理的以下版本：令 $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]\!\,$ 。詳細證明

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx\rightarrow 0\!\,$ 作為 $n\rightarrow \infty \!\,$

這裡 $n\!\,$ 表示正整數。您可以使用多種技術，但您不能簡單地引用黎曼-勒貝格引理的另一個版本。

解答 1a

注意 $e^{-inx}=\cos(nx)-i\sin(nx)\!\,$ 。

因此，我們可以等價地證明

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\rightarrow 0\!\,$ 作為 $n\rightarrow \infty \!\,$

論點

令 $\psi (x)\!\,$ 是一個階躍函式。

$\int _{-\pi }^{\pi }\psi (x)\cos(nx)\rightarrow 0\!\,$ 作為 $n\rightarrow \infty \!\,$

證明

${\begin{aligned}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (x)\cos(nx)&=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\int _{\xi _{i-1}}^{\xi _{i}}\cos(nx)dx\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\frac {1}{n}}\underbrace {(\left.\sin(nx)\right|_{\xi _{i-1}}^{\xi _{i}})} _{<2}\\&\leq 2\max _{i}c_{i}{\frac {1}{n}}\\&\rightarrow 0{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty \end{aligned}}\!\,$

階躍函式可以很好地逼近 L^1 函式

由於 $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]\!\,$ ，那麼 $f\in L^{1}[\pi ,\pi ]\!\,$

因此，給定 $\epsilon >0\!\,$ ，存在 $\psi (x)\!\,$ 使得

$\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\psi (x)|dx<\epsilon \!\,$

${\begin{aligned}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)&=\int _{-\pi }^{\pi }([f(x)-\psi (x)+\psi (x)]\cos(nx))dx\\&\leq \int _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\psi (x)|\cos(nx)+\int _{-\pi }^{\pi }|\psi (x)|\cos(nx)\\&\leq \epsilon \cdot 2\pi +\epsilon \end{aligned}}$

問題 1b

令 $n_{k}\!\,$ 是一個遞增的正整數序列。證明 $\{x|\lim \inf _{k\rightarrow \infty }\sin(n_{k}x)>0\}\!\,$ 的測度為 0。

注意：你可以認為上面的集合是可測量的。

解 1b

為了簡潔起見，令 S 為所有滿足條件的 x 的集合。如果 S 的測度為正，則 S 包含一個測度為正的子集，在這個子集上，liminf[sin(n_kx)] 由某個正常數界限以下；即，liminf[sin(n_kx)] 在 S 上的積分將為正。如果 S 的測度為零，則相同的積分將為零。因此，我們只需要計算一個適當的積分來證明 m(S)=0。

由於我們不知道 S 的測度是否有限，我們取一個函式序列 f_k(x)=2^-|x|*sin(n_kx)，每個函式顯然都是可積的。根據 Fatou 引理，liminf[f_k(x)] 在 S 上的積分小於等於 f_k(x) 在 S 上的積分的 liminf。然而，每個 f_k 都是 L¹ 函式 2^-|x|*sin(n_kx)。根據黎曼-勒貝格引理，當 n_k 趨於無窮大時，此函式趨於 0。

因此，我們最初在 S 上的嚴格正函式的積分由 0 上限，所以 m(S)=0。

問題 3

假設 $(x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}})f\in L^{2}(0,\infty )$ ，其中 $p>1/2$ 。證明 $f\in L^{1}(0,\infty )$ .

Solution 3

令 $A=||(x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}})f||_{L^{2}(0,\infty )}$ ，則我們可以寫成

${\begin{aligned}||f||_{L^{1}(0,\infty )}=\int _{0}^{\infty }|f|&=\int _{0}^{1}|f{\frac {1}{x^{p}}}||x^{p}|+\int _{1}^{\infty }|{\frac {1}{x^{p}}}||fx^{p}|\\&=||f{\frac {1}{x^{p}}}||_{L^{2}(0,1)}||x^{p}||_{L^{2}(0,1)}+||{\frac {1}{x^{p}}}||_{L^{2}(1,\infty )}||fx^{p}||_{L^{2}(1,\infty )}\\&\leq A||x^{p}||_{L^{2}(0,1)}+A||fx^{p}||_{L^{2}(1,\infty )}<\infty \end{aligned}}$