UMD 分析資格考試/8月12日複變函式

問題 4

假設 $h(z)$ 在包含圓盤 $\{|z|\leq R\}$ 的區域上是解析的，並且當 $|z|=R$ 時，$|h(z)|<R$。方程 $h(z)=z$ 在圓盤 $\{|z|\leq R\}$ 中有多少解？證明你的答案。

解答 4

我們知道 $|h(z)|=|h(z)-z+z|<R$ 當 $|z|=R$。類似地，由於 $|h(z)-z|\geq 0$，則 $|h(z)-z|+|z|\geq R$ 當 $|z|=R$。這得到 $|h(z)-z+z|<R\leq |h(z)-z|+|z|$ 當 $z=R$.

根據羅歇定理，由於兩個函式都是全純函式（即沒有極點），則$h(z)-z$ 在域 $|z|<R$ 上的零點數量與$z$ 的零點數量相同。由於$z$ 只有一個零點（即 0），因此$h(z)=z$ 在開圓盤 $|z|<R$ 內只有一個解。

觀察到對於任何 $|z|=R$，$h(z)\neq z$，因為這將意味著對於邊界上的某個 $z$，$|h(z)|=R$，這與假設矛盾。

因此，$h(z)=z$ 在開圓盤 $|z|\leq R$ 內只有一個解。