馬里蘭大學分析資格考試/2012年8月真題

問題1

計算以下極限。請說明你的答案。 $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-n}\sin \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx.$

解題1

我們將使用控制收斂定理。首先，注意到對於$x\geq 0$ 和 $n\geq 2$，

$(1+x/n)^{n}=1+x+{\frac {n-1}{2n}}x^{2}+...\geq 1+x+{\frac {n-1}{2n}}x^{2}\geq 1+x+{\frac {1}{4}}x^{2}=(1+x/2)^{2}.$

因此，

${\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}\leq {\frac {1}{(1+x/2)^{2}}}$

並且該函式屬於$L_{1}([0,\infty ])$，其中

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x/2)^{2}}}=2$.

因此，根據LDCT（Lebesgue Dominated Convergence Theorem，勒貝格控制收斂定理），

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}=\int _{0}^{\infty }0=0$

問題 3

假設$f$ 在區間$[a,b]$上是絕對連續的，並且存在一個連續函式$g$ 使得$f'=g$ 幾乎處處成立。證明$f$ 在每個$x\in [a,b]$ 處可微，並且$f'(x)=g(x)$ 在$[a,b]$ 上處處成立。

解答 3

如果$f'(x)$ 存在，則根據定義，$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$。因此，我們需要證明這個極限存在並且等於$g(x)$。

然後根據絕對連續性的$f$，$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}$。

由於$g(x)$是連續的，那麼對於任意$\epsilon >0$，存在某個$\delta >0$，使得對於$h<\delta$，$|g(x+h)-g(x)|<\epsilon$。

因此，

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}=\lim _{\begin{array}{c}h\to 0\\h<\delta \end{array}}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}<\lim _{\begin{array}{c}h\to 0\\h<\delta \end{array}}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(x)+\epsilon \,dt}{h}}=g(x)+\epsilon$.

同樣的論證給出了一個下界，總的來說

$g(x)-\epsilon <\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}<g(x)+\epsilon$。因此，極限存在（即$f$可微），差商趨於$g(x)$。

問題 5

令$f$為$[0,1]$上非負的勒貝格可積函式。用$m$表示$[0,1]$上的勒貝格測度。 (i) 證明，對於每個$\epsilon >0$，存在一個$c>0$，使得 $\int _{\{x\in [0,1]:f(x)\geq c\}}f\,dm<\epsilon .$ (ii) 證明，對於每個$\epsilon >0$，存在一個$\delta >0$，使得對於每個可測子集$E\subseteq [0,1]$ 如果$m(E)<\delta$，則$\int _{E}f\,dm<\epsilon .$

解法 5

(i) 固定大於零的 epsilon。然後，考慮集合 S_n={x ∈ [0,1]：n-1 ≤ f(x) < n}。f 在 S_n 上的積分的偏和構成一個單調遞增的實數序列，其上界為 f 在 [0,1] 上的有限積分。

因此，該序列收斂，並且序列的尾部，即 f 在集合 {x ∈ [0,1]：f(x) ≥ n} 上的積分，對於某個 n 必須最終小於 epsilon。

(ii) 固定大於零的 epsilon。根據 (i) 部分，存在某個常數 c，使得給定集合 A={x ∈ [0,1]：f(x) ≥ c}，f 在 A 上的積分小於 epsilon/2。在 A 的補集（在 [0,1] 中），f 上界為 c，因此任何測度小於 epsilon/2c 的集合產生的積分值都小於 epsilon/2。

如果 m(A) 不為零，則將 delta 取為 m(A) 和 epsilon/2c 的最小值。給定 [0,1] 中任何可測集 E，其中 m(E) 小於 delta，則在 A 中的部分和在 A^c 中的部分的積分值都最多為 epsilon/2，因此 f 在 E 上的積分值最多為 epsilon。

如果 m(A)=0，則 f 在 [0,1] 上幾乎處處有界，我們只需將 delta 取為 epsilon/c。