假設 f , g {\displaystyle f,g\!\,} 在 { | z | ≤ 1 } {\displaystyle \{|z|\leq 1\}\!\,} 上解析，其中 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 { | z | < 1 } {\displaystyle \{|z|<1\}\!\,} 上。證明對所有 z ∈ { | z | = 1 } {\displaystyle z\in \{|z|=1\}\!\,} ， | f ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|\leq |g(z)|\!\,} 意味著 | f ( 0 ) | ≤ | g ( 0 ) | {\displaystyle |f(0)|\leq |g(0)|\!\,}
定義 h ( z ) = f ( z ) g ( z ) {\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{g(z)}}\!\,} .
由於 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 D {\displaystyle D\!\,} 上成立，那麼根據最大模原理， g {\displaystyle g\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上不等於零。
因此，由於 f {\displaystyle f\!\,} 和 g {\displaystyle g\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上解析且 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上，那麼 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上解析，這意味著 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上連續。
這從上面得出
如果 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上非常數，那麼根據最大模原理， | h | {\displaystyle |h|\!\,} 在 D {\displaystyle D\!\,} 的邊界上達到其最大值。
但由於 | h ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(z)|\leq 1\!\,} 在 ∂ D {\displaystyle \partial D\!\,} 上（根據假設），則
| h ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(z)|\leq 1\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上。
特別地， | h ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(0)|\leq 1\!\,} ，或者等價地
| f ( 0 ) | ≤ | g ( 0 ) | {\displaystyle |f(0)|\leq |g(0)|\!\,}
假設 h ( z ) {\displaystyle h(z)\!\,} 為常數。則
| h ( z ) | = | f ( z ) g ( z ) | = | α | {\displaystyle |h(z)|=\left|{\frac {f(z)}{g(z)}}\right|=|\alpha |\!\,} ，其中 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \!\,}
然後從假設中我們得到，對所有 z ∈ { | z | = 1 } {\displaystyle z\in \{|z|=1\}\!\,} ，
| f ( z ) | = | α | | g ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|=|\alpha ||g(z)|\leq |g(z)|\ \!\,}
這意味著
| α | ≤ 1 {\displaystyle |\alpha |\leq 1\!\,}
因此，根據最大模原理，對所有 z ∈ D {\displaystyle z\in D\!\,}
| f ( z ) g ( z ) | = | α | ≤ 1 {\displaystyle \left|{\frac {f(z)}{g(z)}}\right|=|\alpha |\leq 1\!\,}
即
| f ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|\leq |g(z)|\!\,}
由於 0 ∈ D {\displaystyle 0\in D\!\,} ，我們也有
.
在 
上成立，那麼根據最大模原理，
在 
上不等於零。
和 在 上解析且 在 上，那麼 
在 上解析，這意味著 在 上連續。 在 上非常數，那麼根據最大模原理，
在 的邊界上達到其最大值。
在 
上（根據假設），則 在 上。
，或者等價地
為常數。則
，其中 
，
，我們也有
