UMD 分析資格考試/Jan10 複數

問題 2

函式 $\sec \pi z$ 有一個收斂的泰勒展開式 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+i)^{n}$。求 $\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$.

解決方案

$\sec \pi z={\frac {1}{\cos \pi z}}$。利用定義 $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$，我們得到 $\cos(z)=0$ 當且僅當 $e^{-y}e^{ix}=-e^{y}e^{-ix}$。不難證明這當且僅當 $y=0$ 且 $x={\frac {(2n+1)\pi }{2}}$。因此，$\cos \pi z$ 的所有零點都出現在實軸上，距離 1/2 為整數倍。因此，$\sec \pi z$ 在除這些點之外的所有地方都是解析的。

我們的泰勒級數 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+i)^{n}$ 以 $z=-i$ 為中心。根據簡單的幾何學，從 $z=-i$ 到 $z=1/2$ 或 $z=-1/2$（$\sec \pi z$ 最近的極點）的最短距離為 $R={\sqrt {1/2^{2}+1^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$。這是泰勒級數的收斂半徑。

從微積分（根檢驗）我們知道 $\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=1/R$。因此，$\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}={\frac {2}{\sqrt {5}}}$。