一個超調和 u ∈ C 2 ( U ¯ ) {\displaystyle u\in C^{2}({\bar {U}})} 滿足 − Δ u ≥ 0 {\displaystyle -\Delta u\geq 0} 在 U {\displaystyle U} 中，這裡 U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R^{n}} } 是開集，有界。
(a) 證明如果 u {\displaystyle u} 是超調和的，那麼
u ( x ) ≥ 1 α ( n ) r n ∫ B ( x , r ) u d y for all B ( x , r ) ⊂ U {\displaystyle u(x)\geq {\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dy\quad {\text{ for all }}B(x,r)\subset U} .
(b) 證明如果 u {\displaystyle u} 是超調和的，那麼 min U ¯ u = min ∂ U u . {\displaystyle \min _{\bar {U}}u=\min _{\partial U}u.}
(c) 假設 U {\displaystyle U} 是連通的。證明如果存在 x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} 使得 u ( x 0 ) = min U ¯ u {\displaystyle u(x_{0})=\min _{\bar {U}}u} 那麼 u {\displaystyle u} 在 U {\displaystyle U} 中是常數。
測試
滿足 
在 
中，這裡 
是開集，有界。
是超調和的，那麼
.
是超調和的，那麼 
是連通的。證明如果存在 
使得 
那麼 在 中是常數。
