UMD PDE 預備考試/2007 年 1 月 PDE

問題 1

a) 證明函式 $G(x)=1/2e^{-|x|}$ 是方程在分佈意義上的解 $-G''+G=\delta (x);\quad -\infty <x<\infty$. b) 使用 (a) 部分寫出以下方程的解 $-u''+u=f(x);\quad -\infty <x<\infty$

解決方案

(a)

我們要證明 $\int _{\mathbb {R} }G(-\varphi ''+\varphi )\,dx=\varphi (0)$ 對於每個測試函式 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$.

我們可以計算 $G(x)=G''(x)$ 和 $G'(x)=1/2(sgn(-x))e^{-|x|}$. 因此，在 0 以外，我們有 $-G''+G=0$，也就是說，$-G''+G=0$ 幾乎處處成立，並且 $\int -G''+G=0$.

我們現在透過分部積分來計算

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{0}(-G''+G)\varphi =&\int _{-\infty }^{0}G'\varphi '+G\varphi \,dx-\left.\varphi G\right|_{-\infty }^{0}\\=&\int _{-\infty }^{0}G'\varphi '+G\varphi \,dx-\varphi (0)\lim _{x\to 0^{-}}G(x)\\=&\int _{-\infty }^{0}G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)+\left.\varphi 'G\right|_{-\infty }^{0}\\=&\int _{-\infty }^{0}G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)+1/2\varphi '(0).\\\end{aligned}}$

類似的計算給出

$\int _{0}^{\infty }(-G''+G)\varphi =\int _{0}^{\infty }G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)-1/2\varphi '(0).$

因此我們已經證明了對於所有 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$

$0=\int \varphi (-G''+G)=\int G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-\varphi (0)$ 這就得到了我們想要的結果。

(b)

我們猜測 $u=G\ast f$。然後由(a)部分，

$-u''(x)+u(x)=\int _{\mathbb {R} }[-G''(x-y)+G(x-y)]f(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }\delta (x-y)f(y)\,dy=f(x)$.

問題 6

設 $B$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的單位球。考慮特徵值問題： $\left\{{\begin{array}{r l}-\Delta u=\lambda u,&x\in B\\\partial _{\nu }u+u=0,&x\in \partial B,\end{array}}\right.$ 其中 $\partial _{\nu }$ 表示邊界 $\partial B$ 上的法嚮導數。證明所有特徵值都是正的，並且對應於不同特徵值的特徵函式彼此正交。

解決方案

將 PDE 乘以 $u$ 並積分

$\lambda \int _{B}u^{2}=-\int _{B}u\Delta u=\int _{B}|Du|^{2}-\int _{\partial B}u\partial _{\nu }u=\int _{B}|Du|^{2}+\int _{\partial B}u^{2}\geq 0$.

當然我們知道 $\lambda =0$ 是 $-\Delta$ 的一個特徵值，對應於一個常數特徵函式。但一個常數函式有 $\partial _{v}u\equiv 0$，這意味著 $u\equiv 0$ 由邊界條件得到。因此 $\lambda =0$ 不再是特徵值。這迫使 $\lambda >0$.

為了看到特徵函式的正交性，設 $\varphi _{n},\varphi _{m}$ 是對應於不同的特徵值 $\lambda _{n},\lambda _{m}$ 的兩個特徵函式，分別。然後透過分部積分，

$\int _{B}-\varphi _{n}\Delta \varphi _{m}+\varphi _{m}\Delta \varphi _{n}=\int _{B}D\varphi _{n}D\varphi _{m}-D\varphi _{n}D\varphi _{m}\,dx+\int _{\partial B}-\varphi _{n}\partial _{\nu }\varphi _{m}+\partial _{\nu }\varphi _{n}\varphi _{m}\,dS=0$

因此，根據偏微分方程，

$0=\int _{B}-\varphi _{n}\Delta \varphi _{m}+\varphi _{m}\Delta \varphi _{n}=\int _{B}(\lambda _{n}-\lambda _{m})\varphi _{n}\varphi _{m}$.

由於$\lambda _{n}-\lambda _{m}\neq 0$，這意味著$\{\varphi _{n}\}$ 在 $L^{2}(B)$ 中是成對正交的。