UMD PDE 資格考試/2010 年 1 月 PDE

問題 1

令 $U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|>1\}$。假設 $u\in C^{2}(U)\cap C({\bar {U}})$ 是以下狄利克雷問題的有界解： $\Delta u=0$ 在 $U$ 中，且 $u=f$ 在 $\Gamma =\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|=1\}$ 上，其中 $f(x)\in C(\Gamma )$。 (a) 考慮 $n=2$。證明上述問題最多有一個解。提示：首先，您可能希望在 $U$ 中考慮使用 $u\pm \epsilon \log |x|$ 的適當最大值原理。 (b) 現在考慮 $n=3$。證明上述問題可能有多個有界解。您應該新增什麼條件才能使解 $u$ 在這種情況下是唯一的？

解決方案

解決方案 1a

我們不能使用調和函式的普通最大值原理，因為我們的域 $U$ 是無界的。我們希望使用我們對該域的最大值原理的預期，但這需要證明。

引理：對於域 $U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|>1\}$，如果 $\Delta u=0$，那麼 $\max _{\bar {U}}u=\max _{\Gamma }u$。 引理證明：考慮域 $U_{r}=\{1<|x|<r\}$ 和函式 $u_{\epsilon }=u-\epsilon \log |x|$。由於 $\log |x|$ 是拉普拉斯方程的基本解，因此顯然 $u_{\epsilon }$ 是調和的，並且可以很容易地驗證 $u_{\epsilon }=f$ 在 $\Gamma$ 上。 然後，由於域 $U_{r}$ 是有界的，我們可以使用普通的極值原理並說 $\max _{\bar {U_{r}}}u_{\epsilon }=\max _{\Gamma }u_{\epsilon }\vee \max _{\partial B(0,r)}u_{\epsilon }$. 我們知道 $\max _{\Gamma }u_{\epsilon }=\|f\|_{L^{\infty }(\Gamma )}$。現在如果 $r$ 足夠大，那麼我們可以保證 $\max _{\partial B(0,r)}u_{\epsilon }<\|f\|_{L^{\infty }(\Gamma )}$。當 $r\to \infty$ 時，我們得到 $\sup _{\bar {U}}u_{\epsilon }\leq \max _{\Gamma }u_{\epsilon }$。現在令 $\epsilon \to 0$，我們得到 $\max _{\bar {U}}u\leq \max _{\Gamma }u$，這證明了引理。

如果我們用 $u+\epsilon \log |x|$ 代替 $u-\epsilon \log |x|$，那麼用同樣的方法我們可以證明我們的域 $U$ 的最小值原理。

現在假設$u_{1},u_{2}$ 是狄利克雷問題的兩個有界解。令$w=u_{1}-u_{2}$。那麼$w$ 在$U$ 中解$\Delta w=0$，並且在$\Gamma$ 上$w=0$。然後根據我們的最大值原理引理，$\sup _{\bar {U}}w\leq \max _{\Gamma }w=0$。類似地，根據最小值原理，$\inf _{\bar {U}}u\geq \min _{\Gamma }w=0$。這意味著$w\equiv 0$，即$u_{1}\equiv u_{2}$，這證明了該狄利克雷問題的有界解是唯一的。

解 1b

現在當 $n=3$ 時，我們可以對 $U$ 上的狄利克雷問題得到多個有界解。假設 $u$ 是其中一個有界的 $C^{2}$ 解。回憶一下 $1/|x|$ 是三維空間中拉普拉斯方程的基本解。因此，$v=(u-1)+1/|x|$ 也是調和的，並且可以驗證 $v=f$ 在 $\Gamma$ 上。也很容易驗證 $v$ 在 $U$ 上也是有界的。因此，$u,v$ 是兩個不同的有界解。因此，解不是唯一的。

我們怎樣才能得到唯一解呢？回憶一下，$w$ 在 $U$ 中解 $\Delta w=0$，並在 $\Gamma$ 上滿足 $w=0$。分部積分表明

${\begin{aligned}0=\int _{U}w\Delta w&=-\int _{U}|Dw|^{2}+\int _{\gamma }w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS+\lim _{r\to \infty }\int _{\partial B(0,r)}w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS\\&=-\int _{U}|Dw|^{2}+0+\lim _{r\to \infty }\int _{\partial B(0,r)}w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS\end{aligned}}$

因此，如果我們假設 $\lim _{|x|\to \infty }w(x)=0$，那麼我們將有 $\int _{U}|Dw|^{2}=0$，這意味著 $w$ 是常數。但邊界條件告訴我們 $w\equiv 0$。換句話說，那麼該解將是唯一的。