考慮守恆定律
u t + f ( u ) x = 0 , in R × ( 0 , ∞ ) , {\displaystyle u_{t}+f(u)_{x}=0,\quad {\text{ in }}\mathbb {R} \times (0,\infty ),} 其中 f ∈ C 1 ( R ) {\displaystyle f\in C^{1}(\mathbb {R} )} .
(a) 定義偏微分方程的積分解
(b) 推導分段光滑積分解 u {\displaystyle u} 在 C 1 {\displaystyle C^{1}} 曲線上的躍遷（Rankine-Hugoniot）條件，其中 u {\displaystyle u} 不連續。
(c) 當 f ( u ) = u 2 + u {\displaystyle f(u)=u^{2}+u} 且 u ( x , 0 ) = 1 {\displaystyle u(x,0)=1} 如果 x < 0 , {\displaystyle x<0,} u ( x , 0 ) = − 3 {\displaystyle u(x,0)=-3} 如果 x > 0 {\displaystyle x>0} ，找到偏微分方程的積分解。
其中 
.
在 
曲線上的躍遷（Rankine-Hugoniot）條件，其中 不連續。
且 
如果 
如果 
，找到偏微分方程的積分解。
