UMD 機率資格考試/2008 年 8 月 機率

問題 1

令 $(\xi _{1},\xi _{2})$ 是一個具有零均值和協方差矩陣 $D$ 的高斯向量，其條目為 $D_{11}=D_{22}=1,D_{12}=D_{21}=1/2$。求 $E(\xi _{1}^{2}\xi _{2}|2\xi _{1}-\xi _{2})$

問題 2

令 $X_{n},n\geq 0$ 為狀態空間 $\mathrm {X} =\{1,2\}$ 上的馬爾可夫鏈，其轉移矩陣為 $P$，其元素為 $P_{11}=1/3,P_{12}=2/3,P_{21}=P_{22}=1/2$。令 $f:\mathrm {X} \to \mathbb {R}$ 為一個函式，其中 $f(1)=1$ 且 $f(2)=4$。求一個函式 $g:\mathrm {X} \to \mathbb {R}$ 使得 $Y_{n}=f(X_{n})-f(X_{0})-\sum _{i=0}^{n-1}g(X_{i}),n\geq 1,$ 是相對於由過程 $X_{n}$ 生成的濾波 ${\mathcal {F}}_{n}^{X}$ 的鞅。

解決方案

注意到，由於 $f,g$ 是可測函式，那麼 $Y_{n}$ 由 ${\mathcal {F}}_{n}$ 可測函式的線性組合構成，因此 $Y_{n}$ 是 ${\mathcal {F}}_{n}$ 適應的。此外，對於任何 $n$，$Y_{n}$ 在任何地方都是有限的，因此是 $L^{1}$。

因此，我們只需要檢查條件鞅性質，即我們要證明 $Y_{n}=E(Y_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n}$.

也就是說，我們想要

${\begin{aligned}f(X_{n})-f(X_{0})-\sum _{i=1}^{n-1}g(X_{i})&=E[f(X_{n+1})-f(X_{0})-\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})|{\mathcal {F}}_{n}]\\f(X_{n})&=E[f(X_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n}]-g(X_{n})\end{aligned}}$

因此，如果 $Y_{n}$ 要成為鞅，我們必須有

$g(X_{n})=E[f(X_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n}]-f(X_{n})$.

由於 $\mathrm {X} =\{1,2\}$，我們可以很容易地計算出右側。

$g(1)=E[f(X_{n+1})|X_{n}=1]-f(1)=(1\cdot 1/3+4\cdot 2/3)-1=2$

$g(2)=E[f(X_{n+1})|X_{n}=2]-f(2)=(1\cdot 1/2+4\cdot 1/2)=-{\frac {3}{2}}$

這明確地定義了函式 $g$ 並驗證了 $Y_{n}$ 是一個鞅。

問題 3

令 $\xi _{n}$ 為獨立同分布的隨機變數，其在 [0,1] 上服從均勻分佈。對於 $\alpha >0$ 的哪些值，級數 $\sum _{n=1}^{\infty }(\xi _{n}+n^{-\alpha })^{(n^{\alpha +1})}$ 幾乎處處收斂？