單位根/附錄

第 2 章規則 1

給定 $f(x)=p(x)\cdot q(x)$。令

$f(x)=f_{0}x^{m}+f_{1}x^{m-1}+\cdots +f_{m-1}x+f_{m}$,

$p(x)=p_{0}x^{n}+f_{1}x^{n-1}+\cdots +f_{m-1}x+f_{m}$,

$q(x)=q_{0}x^{m-n}+f_{1}x^{m-n-1}+\cdots +f_{m-n-1}x+f_{m-n}$,

(最高次係數 $f_{0}$，$p_{0}$ 和 $q_{0}$ 不為零）。透過比較 $f(x)=p(x)\cdot q(x)$ 兩邊展開式的同類項係數，我們得到

$f_{0}=p_{0}q_{0}$,

$f_{1}=p_{0}q_{1}+p_{1}q_{0}$,

$f_{2}=p_{0}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{0}$,

$\ldots$.

$f_{m-n}=p_{0}q_{m-n}+p_{1}q_{m-n+1}+\cdots +p_{m-n}q_{0}$,

所以，

$q_{0}=f_{0}\div p_{0}$,

$q_{1}=(f_{1}-p_{1}q_{0})\div p_{0}$,

$q_{2}=(f_{2}-p_{1}q_{1}-p_{2}q_{0})\div p_{0}$,

$\ldots$.

$q_{m-n}=(f_{m-n}-p_{1}q_{m-n+1}-\cdots -p_{m-n}q_{0})\div p_{0}$.

所有 $q(x)$ 的係數都可以透過四則運算計算，並且所有除法運算都是除以同一個非零數 $p_{0}$。現在，所有複數的運算結果都是複數，所有實數的運算結果都是實數，所有有理數的運算結果都是有理數。因此，我們可以得出結論，如果 $f(x)$ 和 $p(x)$ 有複數、實數或有理數係數，那麼 $q(x)$ 必須有複數、實數或有理數係數。另一方面，如果 $f(x)$ 和 $p(x)$ 有整數係數，並且 $p_{0}=1$，那麼 $q(x)$ 也必須有整數係數。