泛代數/二元關係

數學中研究的許多代數簇都具有一個非常重要的二元關係。在本節中，我們將研究這種情況。

定義（單位元）:

設${\mathcal {A}}$ 為一個代數簇，並設$A$ 為${\mathcal {A}}$ 的一個例項。假設${\mathcal {A}}$ 的例項具有一個二元運算$*$。那麼，關於$*$ 的$A$ 的**單位元**是一個元素$e\in A$，它對應於${\mathcal {A}}$ 的一個 0 元運算，使得規則$x*e=x$ 成立，其中$x$ 是一個變數。

定義（結合律）:

設${\mathcal {A}}$ 為一個代數簇，其例項具有一個二元運算$*$。當且僅當規則$x*(y*z)=(x*y)*z$ 對${\mathcal {A}}$ 成立時，此二元關係稱為**結合的**。

定義（逆元）:

設${\mathcal {A}}$ 為一個代數簇，其例項具有一個二元運算$*$ 和一個單位元$e$。**逆運算**是在${\mathcal {A}}$ 上的一元運算$~^{-1}$，使得規則$x*x^{-1}=e$ 成立。

定義（交換律）

:

設${\mathcal {A}}$ 是一個代數簇，具有二元關係 $*$。當且僅當規則 $x*y=y*x$ 成立時，此二元關係稱為交換的。

命題（更高階結合律）:

設${\mathcal {A}}$ 是一個代數簇，具有二元關係 $*$。假設 $*$ 是結合的。然後設 $A$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的一個例項，並設 $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$。設 $w\in D_{1}$ 是第一個 Dyck 語言 $D_{1}$ 的一個詞。