泛代數/定義、例子

回想一下，每當$S$ 是一個集合，那麼${\mathcal {T}}(S)$ 是所有$S$-元組的類，無論大小。

定義（運算）:

令$A$ 為一個集合。$A$ 上的運算是一個子類$\alpha \subseteq {\mathcal {T}}(A)$ 以及一個函式$\circ :\alpha \to A$.

注意，在這個定義中，$\alpha =\{()\}$ （只包含空元組的集合）是允許的，因此在這種情況下，$\circ$ 可以被視為$A$ 中的一個常數。習慣上將$0$-元運算視為$A$ 中的常數。

定義（元數）:

令$A$ 為一個集合，並帶有一個運算$\circ$。如果$c$ 是一個基數，並且$\circ$ 恰好定義在基數為$c$ 的元組上，那麼$c$ 稱為運算$\circ$ 的元數。$\circ$ 則稱為$c$-元。

定義（任意元）:

令$A$ 為一個集合，並具有一個運算 $\circ$。如果 $\circ$ 在 ${\mathcal {T}}(A)$ 上定義，則稱其為任意。

命題（交集保持封閉性質）:

令$S$ 為代數簇的一個例項，其運算為$\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$，令 $(M_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $S$ 的子集族，使得每個 $M_{\alpha }$ 在所有運算 $\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$ 下是封閉的。那麼 $\cap _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 在運算 $\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$ 下也是封閉的。

證明：假設$j\in [n]$，為了簡化符號，定義$M:=\cap _{\alpha \in A}M_{\alpha }$。假設$\sigma \in {\mathcal {T}}(M)$ 是一個位於$\circ _{j}$ 定義域內的元組。那麼根據假設，對於每個$\alpha \in A$，$\circ _{j}(\sigma )$ 位於 $M_{\alpha }$ 中，因此 $\circ _{j}(\sigma )$ 位於 $M$ 中。 $\Box$

定義（代數簇）:

代數簇是指所有集合$A$，它們具有特定運算$(\circ _{\beta })_{\alpha \in B}$（其中$B$ 是一個固定索引集，特定於手頭的代數簇），因此對於每個$\beta$，運算$\circ _{\beta }$ 定義在所有由集合論表示式定義的元組上，該表示式僅依賴於$\beta$ 和其他運算，並且滿足一組規則$(S_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$，其中規則定義如下

1. 項 的遞迴定義如下
   1. 所有$0$ 元運算（及其元組）都是項
   2. 所有變數（對我們而言僅僅是字母）都是項
   3. 每當 $(t_{\delta })_{\delta \in \Delta }$ 是一個項元組時，$\circ _{\beta }((t_{\delta })_{\delta \in \Delta })$ 是一個項。
2. 一個規則 則是一個形如 $t=s$ 的表示式，其中 $s$ 和 $t$ 是項。
3. 如果該規則在變數被適當的元組替換後（即項的表示式都有意義，例如 $A$ 的運算在所有得到的元組上都有定義），其給出的恆等式都成立，則稱該規則對於給定的代數結構成立。

定義（代數結構）:

給定代數品種的代數結構 是該代數品種的一個元素。

定義（子結構）:

如果 $A$ 是給定代數品種的代數結構，並且 $B\subseteq A$ 是一個子集，它配備了 $A$ 運算的限制，本身是該代數品種的代數結構，則 $B$ 被稱為 $A$ 的子結構。

命題（在運算下封閉意味著代數結構）:

設 $A$ 是一個代數結構，設 $B\subseteq A$ 是一個在所有與 $A$ 相關的運算下封閉的子集。則 $B$ 是與 $A$ 相同代數品種的代數結構。

例如，如果我們有一個群的子集，它包含單位元，並且在逆運算和乘法運算下封閉（也就是說，如果我們有一個群的子集，它在 0 元、1 元和 2 元運算下封閉），那麼該子集就是一個子群。

證明：我們只需注意到規則的有效性並沒有被破壞，因為我們所做的只是對一個更小的類別進行量化。 $\Box$

命題（最大下界結構是交集）:

設 $A$ 為一個集合，帶有運算 $(\circ _{\alpha })_{\alpha \in A}$，並設 $(B_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$ 為一個非平凡的 $A$ 子集族，當 $A$ 的運算限制在它們上時，它們都是同一代數簇的代數結構。那麼，它們關於集合包含的最小上界代數結構由交集 $\cap _{\gamma \in \Gamma }B_{\gamma }$ 給出。

證明：交集 $\cap _{\gamma \in \Gamma }B_{\gamma }$ 在所有交集下封閉，因為 交集保持封閉性質，並且，由於 在運算下封閉的子集本身就是一個子結構，所以它也是任何 $B_{\alpha }$ 的子結構，即它本身是一個代數結構。顯然，它是所有 $B_{\gamma }$ 中包含的最大一個，因為它恰好包含所有 $B_{\gamma }$ 中的元素，因此任何額外的元素都不會被包含在所有 $B_{\gamma }$ 中。 $\Box$