VCE 數學方法/從基本原理推導微分

理論

公式

給定函式 f，導數（有時稱為“梯度”）函式的規則定義為 $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\,$.

方法

請記住，為了計算極限，我們通常將給定的值代入表示式。但是，對於上面的公式，將$h=0$代入會導致零除，這是數學上不可能的。因此，為了使用此公式，您需要將規則$f(x+h)$和$f(x)$代入，然後簡化以消除分數，只有這樣才能代入$h=0$。這被稱為從基本原理推導微分。

例如

設$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x$

讓我們從基本原理推匯出 f 的導數。

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2(x+h)-2x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2x+2h-2x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2h}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}2\\&=2\\\end{aligned}}$.
因此，我們可以將梯度函式定義為$f':\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f'(x)=2$

練習

第一題
從基本原理推匯出以下函式的導數。
(a) $f(x)=4x$
(b) $f(x)=7x$
(c) $f(x)=2x+1$
(d) $f(x)=3x+3$

第二題
從基本原理推匯出以下函式的導數。
(a) $g(x)=x^{2}$
(b) $f(x)=5x^{2}$
(c) $f(x)=2x^{2}+3$
(d) $f(x)=(x+3)(x+4)$