VCE 數學方法/反函式

理論

反函式的存在

一個函式只有在它是單射函式時才存在反函式：也就是說，對於每個y值，只有一個對應的x值。為了測試一個函式是否為單射函式，我們可以透過函式圖形畫出多條水平線。如果任何一條水平線與函式圖形的交點超過一次，則該函式就不是單射函式。

例如，考慮函式$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$ 的圖形。

我們可以透過圖形畫出任何位置的水平線（除了$x=0$ 處的轉折點），它將與圖形相交兩次。因此，f 不是單射函式，因此沒有反函式。

然而，考慮函式$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{3}$。

此函式是單射函式，因此將有一個反函式，我們用$g^{-1}\,$ 表示。

反函式的規則

函式f的反函式的規則可以透過令$y=f(x)$，交換y和x變數，然後重新排列使y成為主語來找到。

例如，考慮g。要找到$g^{-1}(x)$ 的規則，令$g(x)=y$ 現在 $y=x^{3}\,$。交換x和y變數得到$x=y^{3}\,$。現在對等式的兩邊開立方得到$y={\sqrt[{3}]{x}}\,$。現在令$y=g^{-1}(x)$，我們有：

$g^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}$

反函式的定義域和值域

因為在求反函式時，我們交換了每個有序對中的x和y值，所以函式的定義域是反函式的值域；函式的值域是反函式的定義域。

因此：${\mbox{dom}}f={\mbox{ran}}f^{-1}{\mbox{ and ran}}f={\mbox{dom}}f^{-1}\,$