VCE 專業數學/3 和 4 單元：專業數學/公式

前言

這是一個3 和 4 單元：專業數學所需所有公式的列表。

公式

橢圓、圓和雙曲線

橢圓

一般公式

• ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

一般說明

• 點$(h,k)$定義了橢圓的中心。
• 點$(\pm a+h,k)$定義了橢圓的定義域和水平端點 - 即水平拉伸。

• 點$(h,\pm b+k)$定義了橢圓的值域和垂直端點 - 即垂直拉伸。

圓形

一般公式

• $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

一般說明

• 點$(h,k)$定義了圓的中心。
• 點$(\pm r+h,k)$定義了圓的定義域 - 即拉伸。

• 點$(h,\pm r+k)$定義了圓的值域 - 即拉伸。

• 圓是橢圓的子集，使得$a=b=r$.

雙曲線

一般公式

• ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

• ${\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}=1$

一般說明

• 點 $(h,k)$ 定義了雙曲線的中心。

• 點 $(\pm a+h,k)$ 定義了雙曲線的定義域，$[\pm a+h,\pm \infty )$。

• 包含 x 和 y 的分數位置的轉換，指示了雙曲線的型別——即垂直或水平。雙曲線在上述一般雙曲線公式中的第一個是水平的，在第二個是負的。

• 圖表 $y=\pm (\pm a+h,k)$ 定義了雙曲線的定義域 $[\pm a+h,\pm \infty )$。

三角函式

正弦

一般公式

• $y=a\sin(n(x-b))+c$

一般說明

• 透過隔離 x 的係數 (n) 獲得的一般公式，即“單獨的 x 規則”。

• 週期等於 $[{\frac {2\pi }{n}}]$

• 定義域，除非受限，為 $x\in \mathbb {R}$

• 值域等於 $[\pm a+c]$，因為 $y=\sin(x),y\in [-1,1]$，參見單位圓。

• 水平平移 $b$ 反映在 x 軸截距上。

餘弦

一般公式

• $y=a\cos(n(x-b))+c$

一般說明

• 透過隔離 x 的係數 (n) 獲得的一般公式，即“單獨的 x 規則”。

• 定義域，除非受限，為 $x\in \mathbb {R}$，因為 $y=\cos(x),x\in \mathbb {R}$

• 週期等於$[{\frac {2\pi }{n}}]$，作為n的係數

• 範圍等於$[\pm a+c]$，作為$y=\cos(x),y\in [-1,1]$的範圍，參見單位圓。

• 水平平移 $b$ 反映在 x 軸截距上。

Tan

一般公式

• $y=a\tan(n(x-b))+c$

一般說明

• 透過隔離 x 的係數 (n) 獲得的一般公式，即“單獨的 x 規則”。

• 週期等於$[{\frac {\pi }{n}}]$

• 定義域為$x\in \mathbb {R} \setminus {\frac {k\pi }{2n}},k\in \mathbb {N}$，因為$y=\tan(x),x\in \mathbb {R} \setminus {\frac {k\pi }{2}},k\in \mathbb {N}$，表明了漸近線。

• 範圍，除非限制，是$y\in \mathbb {R}$，作為$y=\tan(x),y\in \mathbb {R}$的範圍，參見單位圓。

• 水平平移 $b$ 反映在 x 軸截距上。

Arcsin

也被稱為$Sin^{-}1$或$sin^{-}$

Arccos

也被稱為$Cos^{-}1$或$cos^{-}$

Arctan

也被稱為$Tan^{-}1$或$tan^{-}$