吠陀數學/它為何有效？

簡介

應該理解，在其他章節中描述的許多技巧中，沒有魔法，事實上，數學中一般來說沒有魔法，可以說，數學是所有科學中最純粹的，因為沒有意見，數學不需要實驗或對結果的解釋；事情要麼是真的，（即它們被證明是真的），要麼就不是真的。既然如此，之前描述的所有技巧都有其有效的原因。
有些技巧有效的原因僅僅是因為它們以更有效的方式執行了一種眾所周知的演算法（例如長乘法），（通常是由於特定問題的性質，例如乘以 11 的技巧），即使一開始很難看出來。其他的技巧則利用了不太為人知的數學定律，（例如代數、二次方程、模運算或“時鐘”算術等）。無論哪種情況，都不需要知道技巧的原理才能使用它，（就像你不需要知道汽車的原理才能駕駛一樣）。正因為如此，以及為了讓前面的章節更易於使用，對每個技巧原理的描述都被省略了。
然而，對於那些好奇並想進一步研究的人，本章將描述許多吠陀數學技巧的原理。請記住，下面的某些描述需要你瞭解你可能不熟悉的數學領域。希望這能激勵你研究這些領域，並擴充套件你的數學知識，（這是一種非常有益的方式，可以發現一個主題的新方面）。但是，即使不是這樣，你也可以（也應該）仍然使用這些技巧，並欣慰地知道，即使你不瞭解這些技巧是如何工作的，它們仍然可以提高你的數值和算術技能。
將本節視為一個附錄，對進一步研究很有用，但對於理解本書的主題並不重要。

乘法技巧

乘以 11

使用長乘法乘以 11 時，可以發現運算過程中的模式，例如

 46     876     4386      432672
 11x     11x      11x         11x
 --     ---     ----     -------
 46     876     4386      432672
460+   8760+   43860+    4326720+
---    ----    -----    --------
506    9636    48246     4759392
---    ----    -----    --------

你可以看到，在上面每個長乘法的加法部分，除了第一列和最後一列之外，每列都是該列中原始數字和下一個數字（向右）的總和。一旦你知道了這一點，你就可以直接寫下任何數字乘以 11 的結果。
從右到左運算

1. 寫下最右邊的數字。
2. 將每對數字相加，並將結果從右到左寫下（必要時進位）。
3. 最後寫下最左邊的數字。

例如

• 將 712 乘以 11

${\begin{matrix}&7&&1&&2\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\7&&8&&3&&2\end{matrix}}$

712x11=7832

從右到左運算而不是通常的從左到右運算的原因是，這樣你就可以在運算過程中將任何進位加進去。例如

• 將 8738 乘以 11

${\begin{matrix}&8&&7&&3&&8\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\9&\leftarrow _{1}&6&\leftarrow _{1}&1&\leftarrow _{1}&1&&8\end{matrix}}$

8738x11=96118

乘以接近 10 的冪的數字

在技巧部分，表明**縱向和橫向**口訣可以很容易地乘以接近 100 的數字。然後表明，相同的技巧可以用來乘以任何接近 10 的冪的數字，實際上，一般的技巧對任何接近任何基數的數字都有效，關鍵因素是，如果初始減法得出的數字更容易相乘，那麼該技巧是有用的。要理解這個技巧為何有效，你需要對代數和二次方程有一個基本的理解。

考慮兩個要相乘的數字A和B，以及一個與這兩個數字都接近的第三個數字X（我們將X稱為“基數”）。我們假設數字A和B很難相乘，因此我們正在尋找一個更簡單的替代方法，它只涉及加法、減法和更容易的數字的乘法（例如，更小的或更簡單的數字）。關鍵是要意識到，由於X與這兩個數字都接近，我們可以透過從X中減去每個數字來生成更小的數字（希望更容易操作）（我們將這些更小的數字稱為a和b）。即

 ${\begin{aligned}&a=X-A\\&b=X-B\\Thus:\\&A=X-a\quad (1)\\&B=X-b\quad (2)\end{aligned}}$

我們可以透過使用上面的等式 (1) 和 (2) 代入A和B來相乘A和B，即

 ${\begin{aligned}AB&=(X-a)(X-b)\\&=X^{2}-aX-bX+ab\\&=X(X-a-b)+ab\end{aligned}}$

現在我們有了可以操作的東西！你可以從上面的等式中看到，我們可以用一些小數字的減法(X-a-b)、這個減法結果乘以“基數”數字X，以及隨後加一個小乘法ab來代替A和B的乘法。（請記住，a和b很小，因為X接近A和B，並且a=X-A，b=X-B）。唯一可能很困難的乘法是X乘以初始減法(X-a-b)的結果，但是，如果我們仔細選擇X（例如，透過使X為 10 的冪），我們可以確保這個乘法也很簡單。有了這些知識，我們現在就可以理解**縱向和橫向**乘法技巧了。即

${\begin{matrix}A&\longrightarrow &(X-A)\\\\B&\longrightarrow &(X-B)\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}A&\longrightarrow &a\\\\B&\longrightarrow &b\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}A&&a\\&&\downarrow \\B&&b\\\hline &&ab\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}\quad \quad A&&a\\&\nwarrow &\\\quad \quad B&&b\\\hline (A-b)&&ab\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}\quad \quad A&&a\\&&\\\quad \quad B&&b\\\hline (X-a-b)&&ab\end{matrix}}$

也許最聰明的一點是，如果基數X是 10 的適當冪，那麼(X-a-b)乘以X以及隨後加ab的步驟將透過在(X-a-b)數字的末尾附加ab數字而造成的數字位置的位移自動處理。唯一可能存在的問題是，如果乘積ab等於或大於基數X。在這種情況下，(X-a-b)數字的位置位移會多一位，因此，乘積ab的最高位數字必須“進位”，然後加到(X-a-b)的值。