0.999.../小數加減法

無限小數的加減法包括一些簡單的例子和一些困難的例子。即使對於有限小數，沒有進位的等式也易於驗證（ $123456 + 654321 = 777777$ ），而帶有大量進位的計算相對難以執行（ $3456 + 6549 = ???$ ）。無限小數也存在類似現象。

幸運的是，我們不會遇到任何帶有進位的加法問題，因此我們可以專注於幾個簡單證明，這些證明沒有進位。

假設

定理

按位加法是正確的

陳述

如果有三個小數 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ ， $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 和 $C = c 0 . c 1 c 2 c 3 \dots$ ，使得對於每個索引 $n$ ， $a n + b n = c n$ ，那麼then $A + B = C$ 。

證明

我們應用無限小數作為級數的定義

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}+b_{n}}{10^{n}}}.

^[1]

接下來我們應用級數的和可以逐項計算這一事實

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=A+B.

按位減法是正確的

陳述

如果有三個小數 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ ， $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 和 $C = c 0 . c 1 c 2 c 3 \dots$ ，使得對於每個索引 $n$ ， $a n - b n = c n$ ，那麼 $A - B = C$ 。

證明

證明幾乎與前面的證明相同

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}-b_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=A-B.

未走之路

如果 $A$ 和 $B$ 是任意無限小數，那麼計算 $A + B = C$ 的小數展開式可能很棘手。問題是由從一位數進位到下一位數的現象引起的。為了計算 $C$ 的任何一位數，可能需要檢查 $A$ 和 $B$ 的更多位數，以確保它們的和不會進位到目標位數。

本書沒有探討任意小數的加法，主要是因為它很困難而且沒有必要。

[1]