0.999.../十進位制乘以10

將無限小數乘以10 與將有限小數乘以10 一樣簡單：每一位向左移動一位。

假設

如果 $A = 0. a 1 a 2 a 3 \dots$ ，則 $10 \times A = a 1 . a 2 a 3 a 4 \dots$

A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.

10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {10a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n-1}}}.

接下來我們移動級數

10A=a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{(n+1)-1}}}.

但是根據假設， $a 0 = 0$ ，所以我們可以簡化

10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{n}}},

這就是我們想要的結果。